首页 > 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足(2a-c)BA•BC=cCB•CA．（1）求角B的大小；（2）若|BA-BC|=6，求△ABC面积的最大值．-数学

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足(2a-c)BA•BC=cCB•CA．（1）求角B的大小；（2）若|BA-BC|=6，求△ABC面积的最大值．-数学

题目简介

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足(2a-c)BA•BC=cCB•CA．（1）求角B的大小；（2）若|BA-BC|=6，求△ABC面积的最大值．-数学

题目详情

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足(
2
a-c)
BA
•
BC
=c
CB
•
CA
．
（1）求角B的大小；
（2）若|
BA
-
BC
|=
6
，求△ABC面积的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：许昌二模

答案

（1）(
2
a-c)
BA
•
BC
=c
CB
•
CA

可化为：(
2
a-c)
|BA
|•|
BC|
cosB=c
|CB|
•
|CA
|，
即：(
2
a-c)cacosB=cabcosC，
∴(
2
a-c)cosB=bcosC，
根据正弦定理有(
2
sinA-sinC)cosB=sinBcosC，
∴
2
sinAcosB=sin(C+B)，即
2
sinAcosB=sinA，
因为sinA＞0，所以cosB=
2
2
，即B=class="stub"π
4
；
（II）因为|
BA
-
BC
|=
6
，所以|
CA
|=
6
，即b2=6，
根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB，
可得6=a2+c2-
2
ac，
有基本不等式可知6=a2+c2-
2
ac≥2ac-
2
ac=(2-
2
)ac，
即ac≤3(2+
2
)，
故△ABC的面积S=class="stub"1
2
acsinB=
2
4
ac≤
3(
2
+1)
2
，
即当a=c=
6+3
2
时，
△ABC的面积的最大值为
3(
2
+1)
2
．

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