在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cosA-2cosCcosB=2c-ab.(1)求sinAsinC的值;(2)若cosB=14,△ABC的周长为5,求b的长.-数学

题目简介

在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cosA-2cosCcosB=2c-ab.(1)求sinAsinC的值;(2)若cosB=14,△ABC的周长为5,求b的长.-数学

题目详情

在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知
cosA-2cosC
cosB
=
2c-a
b

(1)求
sinA
sinC
的值; 
(2)若cosB=
1
4
,△ABC的周长为5,求b的长.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)利用正弦定理化简已知等式得:class="stub"cosA-2cosC
cosB
=class="stub"2sinC-sinA
sinB

整理得:sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB,
即sinAcosB+cosAsinB=2(sinBcosC+cosBsinC),
∴sin(A+B)=2sin(B+C),即sinC=2sinA,
class="stub"sinA
sinC
=class="stub"1
2

(2)∵sinC=2sinA,∴由正弦定理得:c=2a,
利用余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-a2=4a2,即b=2a,
∵△ABC周长a+b+c=5,即a+2a+2a=5,
解得:a=1,
则b=2a=2.

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