首页 > 已知函数f(x)=cos2x-3sinxcosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f(θ)=56，θ∈(π3，2π3)，求sin2θ的值．-数学

已知函数f(x)=cos2x-3sinxcosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f(θ)=56，θ∈(π3，2π3)，求sin2θ的值．-数学

题目简介

已知函数f(x)=cos2x-3sinxcosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f(θ)=56，θ∈(π3，2π3)，求sin2θ的值．-数学

题目详情

已知函数f(x)=cos2x-
3
sinxcosx+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f(θ)=
5
6
，θ∈(
π
3
， 
2π
3
)，求sin2θ的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（本题满分14分）
（Ⅰ）f(x)=cos2x-
3
sinxcosx+1
=class="stub"1+cos2x
2
-
3
2
sin2x+1=cos(2x+class="stub"π
3
)+class="stub"3
2
．         …（4分）
由2kπ+π≤2x+class="stub"π
3
≤2kπ+2π，
得kπ+class="stub"π
3
≤x≤kπ+class="stub"5π
6
（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递增区间是[kπ+class="stub"π
3
，kπ+class="stub"5π
6
]（k∈Z）．  …（6分）
（Ⅱ）∵f(θ)=class="stub"5
6
，∴cos(2x+class="stub"π
3
)+class="stub"3
2
=class="stub"5
6
，cos(2θ+class="stub"π
3
)=-class="stub"2
3
．    …（8分）
∵θ∈(class="stub"π
3
，class="stub"2π
3
)，∴2θ+class="stub"π
3
∈(π，class="stub"5π
3
)，
sin(2θ+class="stub"π
3
)=-
1-cos2(2θ+class="stub"π
3
)
=-
5
3
． …（11分）
∴sin2θ=sin(2θ+class="stub"π
3
-class="stub"π
3
)=class="stub"1
2
sin(2θ+class="stub"π
3
)-
3
2
cos(2θ+class="stub"π
3
)=
2
3
-
5
6
．  …（14分）

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