首页 > 已知函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx+a（a为常数）．（1）若x∈R，求f（x）的最大值及当f（x）取得最大值时自变量的集合；（2）若x∈[0，π2]时，|f（x）|＜2恒成立，求实数

已知函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx+a（a为常数）．（1）若x∈R，求f（x）的最大值及当f（x）取得最大值时自变量的集合；（2）若x∈[0，π2]时，|f（x）|＜2恒成立，求实数

题目简介

已知函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx+a（a为常数）．（1）若x∈R，求f（x）的最大值及当f（x）取得最大值时自变量的集合；（2）若x∈[0，π2]时，|f（x）|＜2恒成立，求实数

题目详情

已知函数f(x)=2cos2x+2
3
sinxcosx+a（a为常数）．
（1）若x∈R，求f（x）的最大值及当f（x）取得最大值时自变量的集合；
（2）若x∈[ 0 ， 
π
2
 ]时，|f（x）|＜2恒成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f(x)=2cos2x+2
3
sinxcosx+a
=1+cos2x+
3
sin2x+a
=2sin（2x+class="stub"π
6
）+a+1，（4分）
且sin（2x+class="stub"π
6
）∈[-1，1]，
∴f（x）max=a+3，（5分）
此时2x+class="stub"π
6
=2kπ+class="stub"π
2
，k∈Z，解得x=kπ+class="stub"π
6
，
则满足题意的x集合为{ x|x=kπ+class="stub"π
6
 ， k∈Z }；（7分）
（2）当x∈[ 0 ， class="stub"π
2
 ]时，class="stub"π
6
≤2x+class="stub"π
6
≤class="stub"7π
6
，
∴a≤f（x）≤3+a，（10分）
由|f（x）|＜2．即-2＜f（x）＜2，
得
a＞-2
a+3＜2
，
解得a∈（-2，-1）．（14分）

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