已知函数f(x)=2cosωx(sinωx-cosωx)+1(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程和单调递减区间;(2)若函数g(x)=f(x)-f(π4-x),求函数g(x

题目简介

已知函数f(x)=2cosωx(sinωx-cosωx)+1(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程和单调递减区间;(2)若函数g(x)=f(x)-f(π4-x),求函数g(x

题目详情

已知函数f(x)=2cosωx(sinωx-cosωx)+1(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程和单调递减区间;
(2)若函数g(x)=f(x)-f(
π
4
-x),求函数g(x)在区间[
π
8
4
]上的最小值和最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

f(x)=2cosωx(sinωx-cosωx)+1=sin2ωx-cos2ωx=
2
sin(2ωx-class="stub"π
4
).
由于函数f(x)的最小正周期为T=class="stub"2π
=π,故ω=1,即函数f(x)=
2
sin(2x-class="stub"π
4
).
(1)令2x-class="stub"π
4
=kπ+class="stub"π
2
(k∈Z),得x=class="stub"kπ
2
+class="stub"3π
8
(k∈Z),
即为函数f(x)图象的对称轴方程.
class="stub"π
2
+2kπ≤2x-class="stub"π
4
class="stub"3π
2
+2kπ(k∈Z),得class="stub"3π
8
+kπ≤x≤class="stub"7π
8
+kπ(k∈Z),
即函数f(x)的单调递减区间是[class="stub"3π
8
+kπ,class="stub"7π
8
+kπ](k∈Z).
(2)g(x)=f(x)-f(class="stub"π
4
-x)=
2
sin(2x-class="stub"π
4
)-
2
sin[2(class="stub"π
4
-x)-class="stub"π
4
]=2
2
sin(2x-class="stub"π
4
),
由于x∈[class="stub"π
8
class="stub"3π
4
],则0≤2x-class="stub"π
4
class="stub"5π
4

故当2x-class="stub"π
4
=class="stub"π
2
即x=class="stub"3π
8
时函数g(x)取得最大值2
2
,当2x-class="stub"π
4
=class="stub"5π
4
即x=class="stub"3π
4
时函数g(x)取得最小值-2.

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