已知f(x)=x2-x+k,若log2f(a)=2且f(log2a)=k(a>0且a≠1).(1)确定k的值;(2)求[f(x)]2+9f(x)的最小值及对应的x值.-数学

题目简介

已知f(x)=x2-x+k,若log2f(a)=2且f(log2a)=k(a>0且a≠1).(1)确定k的值;(2)求[f(x)]2+9f(x)的最小值及对应的x值.-数学

题目详情

已知f(x)=x2-x+k,若log2f(a)=2且f(log2a)=k(a>0且a≠1).
(1)确定k的值;
(2)求
[f(x)]2+9
f(x)
的最小值及对应的x值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题设有
log2(a2-a+k)=2①
log22
a-log2a+k=k②

a2-a+k=4①
log2a(log2a-1)=0②

∵a≠1,
∴log2a≠0,由②得log2a-1=0,
∴a=2,代入①解得k=2.
(2)∵k=2,
∴f(x)=x2-x+2=(x-class="stub"1
2
)2+class="stub"7
4
>0.
[f(x)]2+9
f(x)
=f(x)+class="stub"9
f(x)
≥2
f(x)•class="stub"9
f(x)
=6.
当且仅当f(x)=class="stub"9
f(x)
,即[f(x)]2=9时取等号.
∵f(x)>0,
∴f(x)=3时取等号.
即x2-x+2=3,解得x=
5
2

当x=
5
2
时,
[f(x)]2+9
f(x)
取最小值.

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