首页 > 已知函数f(x)=x+2a2x-alnx(a∈R)．（1）讨论函数y=f（x）的单调区间；（2）设g（x）=x2-2bx+4-ln2，当a=1时，若对任意的x1，x2∈[1，e]（e是自然对数的底数）

已知函数f(x)=x+2a2x-alnx(a∈R)．（1）讨论函数y=f（x）的单调区间；（2）设g（x）=x2-2bx+4-ln2，当a=1时，若对任意的x1，x2∈[1，e]（e是自然对数的底数）

题目简介

已知函数f(x)=x+2a2x-alnx(a∈R)．（1）讨论函数y=f（x）的单调区间；（2）设g（x）=x2-2bx+4-ln2，当a=1时，若对任意的x1，x2∈[1，e]（e是自然对数的底数）

题目详情

已知函数f(x)=x+
2a2
x
-alnx  (a∈R)．
（1）讨论函数y=f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=x2-2bx+4-ln2，当a=1时，若对任意的x1，x2∈[1，e]（e是自然对数的底数），f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）因为f（x）=x+
2a2
x
-alnx(x＞0)，所以f′(x)=1-
2a2
x2
-class="stub"a
x
=
x2-ax-2a2
x2
=
(x+a)(x-2a)
x2
，
①若a=0，f（x）=x，f（x）在（0，+∞）上单调递减．
②若a＞0，当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2a）上单调递减；当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2a，+∞）上单调递增．
③若a＜0，当x∈（0，-a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，-a）上单调递减；当x∈（-a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（-a，+∞）上单调递增．
综上：①当a=0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
②当a＞0时，f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．
③当a＜0时，f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．
（2）当a=1时，f（x）=x+class="stub"2
x
-lnx(x＞0)．
由（1）知，若a=1，当x∈（0，2）时，f（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增，
所以f（x）min=f（2）=3-ln2．
因为对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，
所以问题等价于对于任意x∈[1，e]，f（x）min≥g（x）恒成立，
即3-ln2≥x2-2bx+4-ln2对于任意x∈[1，e]恒成立，
即2b≥x+class="stub"1
x
对于任意x∈[1，e]恒成立，
因为函数y=x+class="stub"1
x
的导数y′=1-class="stub"1
x2
≥0在[1，e]上恒成立，
所以函数y=x+class="stub"1
x
在[1，e]上单调递增，所以(x+class="stub"1
x
)max=e+class="stub"1
e
，
所以2b≥e+class="stub"1
e
，所以b≥class="stub"e
2
+class="stub"1
2e
，
故实数b的取值范围为[class="stub"e
2
+class="stub"1
2e
，+∞）．

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