首页 > 函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）当x∈(0，12)时，f（x）+2＜a恒成立，求a

函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）当x∈(0，12)时，f（x）+2＜a恒成立，求a

题目简介

函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）当x∈(0，12)时，f（x）+2＜a恒成立，求a

题目详情

函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）当x∈(0，  
1
2
)时，f（x）+2＜a恒成立，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）令x=1，y=0得f（1）-f（0）=（1+2×0+1）×1=2，
移向得出f（0）=f（1）-2=0-2=-2
∴f（0）=-2．…（4分）
（2）令y=0得f（x）-f（0）=（x+2×0+1）x=x（x+1），…（7分）
于是f（x）=x（x+1）+f（0）=x2+x-2．…（9分）
（3）令g（x）=f(x)+2=x2+x=(x+class="stub"1
2
)2-class="stub"1
4
，…（11分）
根据二次函数的性质，
g（x）=f(x)+2=(x+class="stub"1
2
)2-class="stub"1
4
在区间(0，  class="stub"1
2
)上是增函数，…（13分）
∴g（x ）∈(g(0)，  g(class="stub"1
2
))，即g(x)∈(0， class="stub"3
4
)．…（15分）
∵当x∈(0，  class="stub"1
2
)时，f（x）+2＜a恒成立，故a≥class="stub"3
4
． …（16分）

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