函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.(1)求f(0)的值;(2)求f(x)的解析式;(3)当x∈(0,12)时,f(x)+2<a恒成立,求a

题目简介

函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.(1)求f(0)的值;(2)求f(x)的解析式;(3)当x∈(0,12)时,f(x)+2<a恒成立,求a

题目详情

函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.
(1)求f(0)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)当x∈(0,  
1
2
)
时,f(x)+2<a恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)令x=1,y=0得f(1)-f(0)=(1+2×0+1)×1=2,
移向得出f(0)=f(1)-2=0-2=-2
∴f(0)=-2.…(4分)
(2)令y=0得f(x)-f(0)=(x+2×0+1)x=x(x+1),…(7分)
于是f(x)=x(x+1)+f(0)=x2+x-2.…(9分)
(3)令g(x)=f(x)+2=x2+x=(x+class="stub"1
2
)2-class="stub"1
4
,…(11分)
根据二次函数的性质,
g(x)=f(x)+2=(x+class="stub"1
2
)2-class="stub"1
4
在区间(0,  class="stub"1
2
)
上是增函数,…(13分)
∴g(x )∈(g(0),  g(class="stub"1
2
))
,即g(x)∈(0, class="stub"3
4
)
.…(15分)
∵当x∈(0,  class="stub"1
2
)
时,f(x)+2<a恒成立,故a≥class="stub"3
4
. …(16分)

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