已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3.(1)设a=1,求函数f(x)的极值;(2)若a>14,且当x∈[1,4a]时,|f′(x)|≤12a恒成立,试确定a的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3.(1)设a=1,求函数f(x)的极值;(2)若a>14,且当x∈[1,4a]时,|f′(x)|≤12a恒成立,试确定a的取值范围.-数学

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已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3
(1)设a=1,求函数f(x)的极值;
(2)若a>
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,且当x∈[1,4a]时,|f′(x)|≤12a恒成立,试确定a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:宁夏

答案

(1)当a=1时,对函数f(x)求导数,得f′(x)=3x2-6x-9.
令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3.
列表讨论f(x),f′(x)的变化情况:

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所以,f(x)的极大值是f(-1)=6,极小值是f(3)=-26.
(2)f′(x)=3x2-6ax-9a2的图象是一条开口向上的抛物线,关于x=a对称.
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<a≤1
,则f′(x)在[1,4a]上是增函数,
从而(x)在[1,4a]上的最小值是f′(1)=3-6a-9a2,最大值是f′(4a)=15a2.
由|f′(x)|≤12a,得-12a≤3x2-6ax-9a2≤12a,于是有(1)=3-6a-9a2≥-12a,且f′(4a)=15a2≤12a.
由f′(1)≥-12a得-class="stub"1
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≤a≤1,由f′(4a)≤12a得0≤a≤class="stub"4
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.

所以a∈(class="stub"1
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,1]∩[-class="stub"1
3
,1]∩[0,class="stub"4
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]
,即a∈(class="stub"1
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,class="stub"4
5
]

若a>1,则∵|f′(a)|=15a2>12a.故当x∈[1,4a]时|f′(x)|≤12a不恒成立.
所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范围是(class="stub"1
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,class="stub"4
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].

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