已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值;(2)求f(x)的值域.-数学

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已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值;(2)求f(x)的值域.-数学

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已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)求f(x)的值域.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由函数f(x)是偶函数,可知f(x)=f(-x)
∴log4(4x+1)+kx=log4(4-x+1)-kx
log4
4x+1
4-x+1
=-2kx
,log44x=-2kx∴
x=-2kx对一切x∈R恒成立,∴k=-class="stub"1
2

(2)k=-class="stub"1
2
时,f(x)=log4(4x+1)-class="stub"1
2
x
=log4
4x+1
2x
=log4(2x+class="stub"1
2x
)

2x+class="stub"1
2x
≥2
log4(2x+class="stub"1
2x
)≥class="stub"1
2
,所以f(x)的值域为[class="stub"1
2
,+∞)

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