函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(12+x)=f(12-x),则f(1)+f(2)+…+f(2009)=()A.2009B.1C.0D.-1-数学

题目简介

函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(12+x)=f(12-x),则f(1)+f(2)+…+f(2009)=()A.2009B.1C.0D.-1-数学

题目详情

函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(
1
2
+x)=f(
1
2
-x)
,则f(1)+f(2)+…+f(2009)=(  )
A.2009B.1C.0D.-1
题型:单选题难度:偏易来源:不详

答案

因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-x)=-f(x),
f(class="stub"1
2
+x)
=f(class="stub"1
2
-x)
,所以f(1)=f(0)=0,且f[class="stub"1
2
+ (class="stub"1
2
+x)]=f[class="stub"1
2
-
(class="stub"1
2
+x)]

则f(x+1)=f(-x)=-f(x),
所以f(x+2)=-f(x+1),即f(x+1)=-f(x+2),
所以f(x+2)=f(x),即f(x)是以2为周期的函数,
因此f(1)=f(2)=f(3)=…=f(2009)=0,
所以f(1)+f(2)+…+f(2009)=0,
故选C.

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