首页 > 设函数f（x）=1-e-x，函数g(x)=xax+1（其中a∈R，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=0时，求函数h（x）=f'（x）•g（x）的极值；（Ⅱ）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）

设函数f（x）=1-e-x，函数g(x)=xax+1（其中a∈R，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=0时，求函数h（x）=f'（x）•g（x）的极值；（Ⅱ）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）

题目简介

设函数f（x）=1-e-x，函数g(x)=xax+1（其中a∈R，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=0时，求函数h（x）=f'（x）•g（x）的极值；（Ⅱ）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）

题目详情

设函数f（x）=1-e-x，函数g(x)=
x
ax+1
（其中a∈R，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=0时，求函数h（x）=f'（x）•g（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N*，求证：e2n-
n


k=1
4
k+1
≤n!≤e
n(n-1)
2
（其中e是自然对数的底数）．
题型：解答题难度：中档来源：资阳二模

答案

（Ⅰ）∵f（x）=1-e-x，∴f′（x）=-e-x•（-1）=e-x，
函数h（x）=f′（x）•g（x）=xe-x，
∴h′（x）=（1-x）•e-x，当x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，
故该函数在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
∴函数h（x）在x=1处取得极大值h（1）=class="stub"1
e
．（4分）
（Ⅱ）由题1-e-x≤class="stub"x
ax+1
在[0，+∞）上恒成立，
∵x≥0，1-e-x∈[0，1），∴class="stub"x
ax+1
≥0，
若x=0，则a∈R，若x＞0，则a＞-class="stub"1
x
恒成立，则a≥0．
不等式1-e-x≤class="stub"x
ax+1
恒成立等价于（ax+1）（1-e-x）-x≤0在[0，+∞）上恒成立，（6分）
令μ（x）=（ax+1）（1-e-x），则μ′（x）=a（1-e-x）+（ax+1）e-x-1，
又令v（x）=a（1-e-x）+（ax+1）e-x-1，
则v′（x）=e-x（2a-ax-1），∵x≥0，a≥0．
①当a=0时，v′（x）=-e-x＜0，
则v（x）在[0，+∞）上单调递减，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，
∴μ（x）在[0，+∞）上单减，∴μ（x）≤μ（0）=0，
即f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（7分）
②当a≥0时，v′(x)=-a•e-x(x-class="stub"2a-1
a
)．
ⅰ）若2a-1≤0，即0＜a≤class="stub"1
2
时，v′（x）≤0，则v（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，
∴μ（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴μ（x）≤μ（0）=0，
此时f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（8分）
ⅱ）若2a-1＞0，即a＞class="stub"1
2
时，若0＜x＜class="stub"2a-1
a
时，
v′（x）＞0，则v（x）在（0，class="stub"2a-1
a
）上单调递增，
∴v（x）=μ′（x）＞v（0）=0，∴μ（x）在（0，class="stub"2a-1
a
）上也单调递增，
∴μ（x）＞μ（0）=0，即f（x）＞g（x），不满足条件．（9分）
综上，不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围是[0，class="stub"1
2
]．（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=class="stub"1
2
时，则1-e-x≤class="stub"x
class="stub"1
2
x+1
，
∴e-x≥class="stub"2-x
2+x
，
当x∈[0，2）时，e-x≥class="stub"2-x
2+x
，∴x≤lnclass="stub"2+x
2-x
，
令class="stub"2+x
2-x
=n，则x=class="stub"2n-2
n+1
=2-class="stub"4
n+1
，
∴lnn≥2-class="stub"4
n+1
(n∈N*)，∴
n










k=1
lnk≥2n-
n










k=1
class="stub"4
k+1
，
∴ln(n!)≥2n-
n










k=1
class="stub"4
k+1
，（12分）
又由（Ⅰ）得h（x）≤h（1），即xe-x≤class="stub"1
e
，当x＞0时，ln(xe-x)≤lnclass="stub"1
e
=-1，∴lnx≤x-1，
ln（n!）=ln2+ln3+…+lnn≤1+2+…+（n-1）=
n(n-1)
2
，
综上得2n-
n










k=1
class="stub"4
k+1
≤ln（n!）≤
n2-n
2
，
即e2n-
n










k=1
class="stub"4
k+1
≤n!≤e
n(n-1)
2
．（14分）

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