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已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h（x）=mf（x）+ng（x），那么称h（x）为f（x）、g（x）在R上生成的一个函数．设f（x）=x2+ax，g（x）=x+b（a

题目简介

已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h（x）=mf（x）+ng（x），那么称h（x）为f（x）、g（x）在R上生成的一个函数．设f（x）=x2+ax，g（x）=x+b（a

题目详情

已知f （x）、g（x）都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h （x）=m f（x）+ng（x），那么称h （x）为f （x）、g（x）在R上生成的一个函数．设f （x）=x2+ax，g（x）=x+b（a，b∈R），l（x）=2x2+3x-1，h （x）为f （x）、g（x）在R上生成的一个二次函数．
（Ⅰ）设a=1，b=2，若h （x）为偶函数，求h(
2
)；
（Ⅱ）设b＞0，若h （x）同时也是g（x）、l（x）在R上生成的一个函数，求a+b的最小值；
（Ⅲ）试判断h（x）能否为任意的一个二次函数，并证明你的结论．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）设h（x）=mf（x）+ng（x），则h（x）=m（x2+x）+n（x+2）=mx2+（m+n）x+2n（m≠0），
因为h（x）为一个二次函数，且为偶函数，
所以二次函数h（x）的对称轴为y轴，即x=-class="stub"m+n
2m
=0，
所以n=-m，则h（x）=mx2-2m，
则h(
2
)=0；（3分）
（Ⅱ）由题意，设h（x）=mf（x）+ng（x）=mx2+（am+n）x+bn（m，n∈R，且m≠0）
由h（x）同时也是g（x）、l（x）在R上生成的一个函数，
知存在m0，n0使得h（x）=m0g（x）+n0l（x）=2n0x2+（m0+3n0）x+（bm0-n0），
所以函数h（x）=mx2+（am+n）x+bn=2n0x2+（m0+3n0）x+（bm0-n0），
则
m=2n0
am+n=m0+3n0
bn=bm0-n0
，（5分）
消去m0，n0，得am=(class="stub"1
2b
+class="stub"3
2
)m，
因为m≠0，所以a=class="stub"1
2b
+class="stub"3
2
，（7分）
因为b＞0，
所以a+b=class="stub"1
2b
+class="stub"3
2
+b≥class="stub"3
2
+2
b•class="stub"1
2b
=class="stub"3
2
+
2
（当且仅当b=
2
2
时取等号），
故a+b的最小值为class="stub"3
2
+
2
．（9分）
（Ⅲ）结论：函数h（x）不能为任意的一个二次函数．
以下给出证明过程．
证明：假设函数h（x）能为任意的一个二次函数，
那么存在m1，n1使得h（x）为二次函数y=x2，记为h1（x）=x2，
即h1（x）=m1f（x）+n1g（x）=x2；①
同理，存在m2，n2使得h（x）为二次函数y=x2+1，记为h2（x）=x2+1，
即h2（x）=m2f（x）+n2g（x）=x2+1．②
由②-①，得函数h2（x）-h1（x）=（m2-m1）f（x）+（n2-n1）g（x）=1，
令m3=m2-m1，n3=n2-n1，化简得m3（x2+ax）+n3（x+b）=1对x∈R恒成立，
即m3x2+（m3a+n3）x+n3b=1对x∈R恒成立，
所以
m3=0
m3a+n3=0
n3b=1
，即
m3=0
n3=0
n3b=1
，
显然，n3b=0×b=0与n3b=1矛盾，
所以，假设是错误的，
故函数h（x）不能为任意的一个二次函数．（14分）
注：第（Ⅲ）问还可以举其他反例．如h1（x）=2x2，h2（x）=2x2+1，

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