优课网
首页
数学
语文
英语
化学
物理
政治
历史
生物
首页
> 函数f(x)=12x2-(a+b)x2+1+92,g(x)=ax2-b(a、b、x∈R)),A={x|12x2-3x2+1+92≤0}(Ⅰ)求集合A;(Ⅱ)如果b=0,对任意x∈A时,f(x)≥0恒成
函数f(x)=12x2-(a+b)x2+1+92,g(x)=ax2-b(a、b、x∈R)),A={x|12x2-3x2+1+92≤0}(Ⅰ)求集合A;(Ⅱ)如果b=0,对任意x∈A时,f(x)≥0恒成
题目简介
函数f(x)=12x2-(a+b)x2+1+92,g(x)=ax2-b(a、b、x∈R)),A={x|12x2-3x2+1+92≤0}(Ⅰ)求集合A;(Ⅱ)如果b=0,对任意x∈A时,f(x)≥0恒成
题目详情
函数f(x)=
1
2
x
2
-(a+b)
x
2
+1
+
9
2
,g(x)=ax
2
-b(a、b、x∈R)),A={x|
1
2
x
2
-3
x
2
+1
+
9
2
≤0}
(Ⅰ)求集合A;
(Ⅱ)如果b=0,对任意x∈A时,f(x)≥0恒成立,求实数a的范围;
(Ⅲ)如果b>0,当“f(x)≥0对任意x∈A恒成立”与“g(x)≤0在x∈A内必有解”同时成立时,求3a+b的最大值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(Ⅰ)令
x
2
+1
=t≥1
,则x2=t2-1,
f(x)≤0即
class="stub"1
2
x
2
-3
x
2
+1
+
class="stub"9
2
≤0
即t2-6t+8≤0,
∴2≤t≤4,所以
2≤
x
2
+1
≤4
,所以x∈[-
15
,-
3
]∪[
3
,
15
],
即A=[-
15
,-
3
]∪[
3
,
15
],…(5分)
(Ⅱ)f(x)≥0恒成立也就是f(x)=
class="stub"1
2
x
2
-(a+b)
x
2
+1
+
class="stub"9
2
≥0恒成立,
∵
class="stub"1
2
x
2
+
class="stub"9
2
≥a
x
2
+1
,即
a
x
2
+1
≤
class="stub"1
2
x
2
+
class="stub"9
2
,
∵
x
2
+1
>1
,
a≤
class="stub"1
2
x
2
+
class="stub"9
2
x
2
+1
=
class="stub"1
2
×
x
2
+9
x
2
+1
=
class="stub"1
2
(
x
2
+1
+
class="stub"8
x
2
+1
)
恒成立,
因为
class="stub"1
2
(
x
2
+1
+
class="stub"8
x
2
+1
)≥
class="stub"1
2
×2
8
=2
2
,所以a
≤2
2
.
…(11分)
(Ⅲ)对任意x∈A,f(x)≥0恒成立,a+b
≤
class="stub"1
2
x
2
+
class="stub"9
2
x
2
+1
=
class="stub"1
2
×
x
2
+9
x
2
+1
得a+b
≤2
2
,
由g(x)=ax2-b≤0有解,ax2-b≤0有解,即a≤
(
class="stub"b
x
2
)
max
,
∵b>0,∴a≤
(
class="stub"b
x
2
)
max
=
class="stub"b
3
,≥3a. …(14分)
∴a,b满足条件
a+b≤2
2
3a≤b
b>0
所表示的区域,设3a+b=t,b=-3a+t,
根据可行域求出当a=
2
2
,b=
3
2
2
时取得.
所以3a+b的最大值为3
2
. …(16分)
上一篇 :
已知f(x)、g(x)都是奇函数,f(x)>0的解
下一篇 :
已知函数f(x)=mx2+(n+2)x-1是定义
搜索答案
更多内容推荐
函数y=f(x)的定义域为R,对任意,都有,恒成立,当时,,试证明:(1)若x>0,则f(x)>0;(2)f(x)是R上的单调递增函数。-高一数学
函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(12+x)=f(12-x),则f(1)+f(2)+…+f(2009)=()A.2009B.1C.0D.-1-数学
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足f(x+2)=-1f(x),当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=()A.-2.5B.2.5C.5.5D.-5.5-数学
若f(1-2x)=1-x2x2(x≠0),那么f(12)=()A.1B.3C.15D.30-数学
已知函数y=f(x+12)为奇函数,设g(x)=f(x)+1,则g(12011)+g(22011)+g(32011)+g(42011)+…+g(20102011)=()A.1005B.2010C.20
已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)=1,f(-1)=-1.(1)求实数b值;(2)若不等式f(x)≥-2恒成立,求实数a的取值范围;(3)设函数y=f(x)存在最大值M(a),求M(a)的
已知函数y=f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,若f(a)>f(2),则实数a的取值范围是()A.a≤2B.a<-2或a>2C.a≥-2D.-2≤a≤2-数学
函数y=log12(2x-x2)的单调递增区间为______.-数学
已知定义在R上的函数y=f(x)是偶函数,且x≥0时,f(x)=ln(x2-2x+2),当x<0时,f(x)的解析式为______.-数学
已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),求x的取值范围.-数学
函数f(x)=x3+x,x∈R,当0≤θ≤π2时,f(msinθ)+f(1-m)>0恒成立,则实数m的取值范围是()A.(0,1)B.(-∞,0)C.(-∞,12)D.(-∞,1)-数学
已知f(n)=sinnπ3,f(1)+f(2)+…+f(2007)=()A.3B.32C.0D.-32-数学
已知f(x)是周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=lgx.设a=f(65),b=f(32),c=f(52),则()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b-数学
若x,y,a∈R+,且x+y≤ax+y恒成立,则a的最小值是()A.22B.2C.1D.12-数学
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)为增函数,且f(3)=0那么不等式xf(x)<0的解集是()A.(-3,-1)∪(1,3)B.(-3,0)∪(3,+∞)C.(-3,0)∪(0,3
f(x)=ax,(x>1)(4-a2)x+2,(x≤1)是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为()A.(1,+∞)B.[4,8)C.(4,8)D.(1,8)-数学
设函数f(x)(x∈R)是以4为周期的奇函数,且f(1)>2,f(3)=a,则()A.a>2B.a<-2C.a>1D.a<-1-数学
已知函数f(x)=log1a(2-x)在其定义域上单调递减,则函数g(x)=loga(1-x2)的单调减区间是()A.(-∞,0]B.(-1,0)C.[0,+∞)D.[0,1)-数学
设f(x)(x∈R)为偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,则f(-2)、f(-π)、f(3)的大小顺序是()A.f(-π)<f(-2)<f(3)B.f(-π)>f(-2)>f(3)C.f(-π
若f(x)=ax5+bx3+cx+6,f(-3)=-12,则f(3)=______.-数学
设函数f(x)=1-e-x,函数g(x)=xax+1(其中a∈R,e是自然对数的底数).(Ⅰ)当a=0时,求函数h(x)=f'(x)•g(x)的极值;(Ⅱ)若f(x)≤g(x)在[0,+∞)
设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3),(1)证明f(x)是偶函数;(2)画出这个函数的图象;(3)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数;(4)求函
已知函数f(x)=(2x-2-x)m+(x3+x)n+x2-1(x∈R)(1)求证:函数g(x)=f(x)-x2+1是奇函数;(2)若f(2)=8,求f(-2)的值.-数学
已知f(x)是定义在[-e,e]上的奇函数,当x∈(0,e)时,f(x)=ex+lnx,其中e是自然对数的底数.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的图象在点P(-1,f(-1))处的切线方程.
设函数f(x)是定义在R上的以5为周期的奇函数,若f(2)>1,f(3)=a2+a+3a-3,则a的取值范围是()A.(-∞,-2)∪(0,3)B.(-2,0)∪(3,+∞)C.(-∞,-2)∪(0,
已知函数f(x)=lnx,g(x)=12x2-2x(1)设h(x)=f(x+1)-g(x)(其中g′(x)是g(x)的导函数),求h(x)的最大值;(2)设k∈Z,当x>1时,不等式k(x-l)<xf
已知定义在[0,+∞)的函数f(x)=x+2(x≥2)x2,(0≤x<2),若f(f(k))=174,则实数k=______.-数学
如果二次函数y=-5x2-nx-10在区间(-∞,1]上是增函数,在〔1,+∞)是减函数,则n的值是()A.1B.-1C.10D.-10-数学
已知f(x)=a-22x+1(x∈R)是奇函数,则lna=______.-数学
下列各函数中为奇函数的是()A.y=x+3B.y=x2+xC.y=|x-1|-|x+1|D.y=-|x|-数学
已知偶函数f(x)不恒为零,对任意x∈R,均有:x•f(x+2)=(x+2)•f(x),那么f[f(5)]的值是______.-数学
生产一定数量商品时的全部支出称为生产成本,可表示为商品数量的函数,现知道一企业生产某种商品的数量为x件时,成本函数是C(x)=20+2x+0.5x2(万元),若每售出一件这种商品的-数学
在平面直角坐标系中,若点A、B同时满足(1)点A、B都在函数y=f(x)的图象上;(2)点A、B关于原点对称.则称点对(A,B)是函数y=f(x)的一个“姐妹点对”(规定点对(A,B)与点对(B,A)
函数f(x)=x2+(3a+1)x+2a在(-∞,4)上为减函数,则实数a的取值范围是()A.a≤-3B.a≤3C.a≤5D.a=-3-数学
如图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法进行:从原点出发,在x轴上向正方向前进a(a>0)个单位后,向左转90°,前进ar(0<r<1=个单位,再向左-数学
定义一种新的运算“*”对任意正整数n满足下列两个条件:(1)1*1=1(2)(n+1)*1=2+(n*1),则2006*1=()A.2007B.4011C.4012D.2008-数学
下列函数中,既是奇函数又是区间(0,+∞)上的增函数的是()A.y=x12B.y=x-1C.y=x3D.y=2x-数学
已知函数f(x)=ln(x+x2+1),若实数a,b满足f(a)+f(b-2)=0,则a+b=()A.-2B.-1C.0D.2-数学
设函数f(x)=x3-3ax2+3b2x(1)若a=1,b=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若0<a<b,不等式,f(1+lnxx-1)>f(kx)对任意x∈(1,+∞)
用函数单调性证明y=2x2-4x+3在(-∞,1]上是单调减函数.-数学
已知函数f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠kπ+π2(k∈Z},函数f(x)满足f(x)=f(x+π),当x∈(-π2,π2)时,f(x)=2x+sinx.设a=f(1),b=f(2),c=f(3)
设函数f(x)=1,x>00,x=0-1,x<0,若g(x)=(x-2)2f(x-1),y=g(x)的反函数y=g-1(x),则g(3)•g-1(1)的值为()A.-3B.-1C.1D.3-数学
设函数f(x)的定义域为R,如果存在函数g(x)=ax(a为常数),使得f(x)≥g(x)对于一切实数x都成立,那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数.已知g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个
已知函数f(x)=(3a-1)x+4a,x<1logax,x≥1满足:对任意实数x1,x2,当x1<x2时,总有f(x1)-f(x2)>0,那么实数a的取值范围是()A.[17,13)B.(0,13)
已知定义在R的奇函数f(x),在[0,+∞)上单调递减,且f(2-a)+f(1-a)<0,则a的取值范围是()A.(32,2]B.(32,+∞)C.[1,32)D.(-∞,32)-数学
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的大致图象为()A.B.C.D.-数学
对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为函数f(x)的不动点,已知f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)(1)当a=1,b=-2求函数f(x)的不动点;(2)
已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数有______个零点,这几个零点的和等于______.-数学
已知:函数f(x)=ax+bx+c(a、b、c是常数)是奇函数,且满足f(1)=52,f(2)=174,(Ⅰ)求a、b、c的值;(Ⅱ)试判断函数f(x)在区间(0,12)上的单调性并证明.-数学
已知函数f(x)=1x在区间[1,2]上的最大值为A,最小值为B,则A-B=()A.12B.-12C.1D.-1-数学
返回顶部
题目简介
函数f(x)=12x2-(a+b)x2+1+92,g(x)=ax2-b(a、b、x∈R)),A={x|12x2-3x2+1+92≤0}(Ⅰ)求集合A;(Ⅱ)如果b=0,对任意x∈A时,f(x)≥0恒成
题目详情
(Ⅰ)求集合A;
(Ⅱ)如果b=0,对任意x∈A时,f(x)≥0恒成立,求实数a的范围;
(Ⅲ)如果b>0,当“f(x)≥0对任意x∈A恒成立”与“g(x)≤0在x∈A内必有解”同时成立时,求3a+b的最大值.
答案
f(x)≤0即
∴2≤t≤4,所以2≤
即A=[-
(Ⅱ)f(x)≥0恒成立也就是f(x)=
∵
∵
a≤
因为
…(11分)
(Ⅲ)对任意x∈A,f(x)≥0恒成立,a+b≤
得a+b≤2
由g(x)=ax2-b≤0有解,ax2-b≤0有解,即a≤(
∵b>0,∴a≤(
∴a,b满足条件
根据可行域求出当a=
所以3a+b的最大值为3