首页 > 函数f（x）=12x2-(a+b)x2+1+92，g（x）=ax2-b（a、b、x∈R）），A={x|12x2-3x2+1+92≤0}（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成

函数f（x）=12x2-(a+b)x2+1+92，g（x）=ax2-b（a、b、x∈R）），A={x|12x2-3x2+1+92≤0}（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成

题目简介

函数f（x）=12x2-(a+b)x2+1+92，g（x）=ax2-b（a、b、x∈R）），A={x|12x2-3x2+1+92≤0}（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成

题目详情

函数f（x）=
1
2
x2-(a+b)
x2+1
+
9
2
，g（x）=ax2-b（a、b、x∈R）），A={x|
1
2
x2-3
x2+1
+
9
2
≤0}
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，求实数a的范围；
（Ⅲ）如果b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立时，求3a+b的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）令
x2+1
=t≥1，则x2=t2-1，
f（x）≤0即class="stub"1
2
x2-3
x2+1
+class="stub"9
2
≤0即t2-6t+8≤0，
∴2≤t≤4，所以2≤
x2+1
≤4，所以x∈[-
15
，-
3
]∪[
3
，
15
]，
即A=[-
15
，-
3
]∪[
3
，
15
]，…（5分）
（Ⅱ）f（x）≥0恒成立也就是f（x）=class="stub"1
2
x2-(a+b)
x2+1
+class="stub"9
2
≥0恒成立，
∵class="stub"1
2
x2+class="stub"9
2
≥a
x2+1
，即a
x2+1
≤class="stub"1
2
x2+class="stub"9
2
，
∵
x2+1
＞1，
a≤
class="stub"1
2
x2+class="stub"9
2
x2+1
=class="stub"1
2
×
x2+9
x2+1
=class="stub"1
2
(
x2+1
+class="stub"8
x2+1
)恒成立，
因为class="stub"1
2
(
x2+1
+class="stub"8
x2+1
)≥class="stub"1
2
×2
8
=2
2
，所以a≤2
2
．
…（11分）
（Ⅲ）对任意x∈A，f（x）≥0恒成立，a+b≤
class="stub"1
2
x2+class="stub"9
2
x2+1
=class="stub"1
2
×
x2+9
x2+1

得a+b≤2
2
，
由g（x）=ax2-b≤0有解，ax2-b≤0有解，即a≤(class="stub"b
x2
)max，
∵b＞0，∴a≤(class="stub"b
x2
)max=class="stub"b
3
，≥3a．     …（14分）
∴a，b满足条件
a+b≤2
2
3a≤b
b＞0
所表示的区域，设3a+b=t，b=-3a+t，
根据可行域求出当a=
2
2
，b=
3
2
2
时取得．
所以3a+b的最大值为3
2
．                …（16分）

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