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已知函数f（x）=ax+bx+c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．（1）试用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：1+

题目简介

已知函数f（x）=ax+bx+c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．（1）试用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：1+

题目详情

已知函数f（x）=ax+
b
x
+c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（1）试用a表示出b，c；
（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）+
n
2(n+1)
（n≥1）．
题型：解答题难度：中档来源：广州三模

答案

（1）∵f(x)=ax+class="stub"b
x
+c(a＞0)，
∴f′(x)=a-class="stub"b
x2
⇒f′(1)=a-b=1⇒b=a-1
∴f（1）=a+a-1+c=2a-1+c．
又∵点（1，f（1））在切线y=x-1上，
∴2a-1+c=0⇒c=1-2a，
∴
b=a-1
c=1-2a
．
（2）∵f(x)=ax+class="stub"a-1
x
+1-2a(a＞0)，
f（x）≥lnx在[1，+∞]上恒成立，
设g（x）=f（x）-lnx，则g（x）=f（x）-lnx≥0在[1，+∞]上恒成立，
∴g（x）min≥0，
又∵g′(x)=a-class="stub"a-1
x2
-class="stub"1
x
=
a(x2-1)-(x-1)
x2
=
a(x-1)(x-class="stub"1-a
a
)
x2
，
而当class="stub"1-a
a
=1时，a=class="stub"1
2
．
1°当class="stub"1-a
a
≤1即a≥class="stub"1
2
时，
g'（x）≥0在[1，+∞]上恒成立，
∴g(x)min=g(1)=2a-1≥0⇒a≥class="stub"1
2
；
2°当class="stub"1-a
a
＞1即0＜a＜class="stub"1
2
时，
g'（x）=0时x=class="stub"1-a
a
；
且1≤x＜class="stub"1-a
a
时，g'（x）＜0，
当x＞class="stub"1-a
a
时，g'（x）＞0；
则g(x)min=g(class="stub"1-a
a
)≥0①，
又∵g(class="stub"1-a
a
)≤g(1)=2a-1＜0与①矛盾，不符题意，故舍．
∴综上所述，a的取值范围为：[class="stub"1
2
，+∞）．

（3）证明：由（1）可知a≥class="stub"1
2
时，f（x）≥lnx在[1，+∞]上恒成立，
则当a=class="stub"1
2
时，class="stub"1
2
(x-class="stub"1
x
)≥lnx在[1，+∞]上恒成立，
令x依次取class="stub"2
1
，class="stub"3
2
，class="stub"4
3
，class="stub"5
4
，class="stub"6
5
…class="stub"n+1
n
时，
则有class="stub"1
2
×(class="stub"2
1
-class="stub"1
2
)≥lnclass="stub"2
1
，class="stub"1
2
×(class="stub"3
2
-class="stub"2
3
)≥lnclass="stub"3
2
，
…
class="stub"1
2
×(class="stub"n+1
n
-class="stub"n
n+1
)≥lnclass="stub"n+1
n
，
由同向不等式可加性可得
class="stub"1
2
[(class="stub"2
1
+class="stub"3
2
+class="stub"4
3
+…+class="stub"n+1
n
)-(class="stub"1
2
+class="stub"2
3
+class="stub"3
4
+…+class="stub"n
n+1
)]≥ln(n+1)，
即class="stub"1
2
[(1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n
+n)-(n-class="stub"1
2
-class="stub"1
3
-class="stub"1
4
-…-class="stub"1
n+1
)]≥ln(n+1)，
也即class="stub"1
2
[2(1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n
)+class="stub"1
n+1
-1]≥ln(n+1)，
也即1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n
＞ln（n+1）+class="stub"n
2(n+1)
（n≥1）．
解法二：①当n=1时左边=1，右边=ln2+class="stub"1
4
＜1，不等式成立；
②假设n=k时，不等式成立，就是1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
k
＞ln（k+1）+class="stub"k
2(k+1)
（k≥1）．
那么1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
k
+class="stub"1
k+1
＞ln（k+1）+class="stub"k
2(k+1)
+class="stub"1
k+1

=ln（k+1）+class="stub"k+2
2(k+1)
．
由（2）知：当a≥class="stub"1
2
时，有f（x）≥lnx  （x≥1）
令a=class="stub"1
2
有f（x）=class="stub"1
2
(x-class="stub"1
x
)≥lnx  （x≥1）
令x=class="stub"k+2
k+1
得class="stub"1
2
(class="stub"k+2
k+1
-class="stub"k+1
k+2
)≥lnclass="stub"k+2
k+1
=ln(k+2)-ln(k+1)
∴ln(k+1)+class="stub"k+2
2(k+1)
≥ ln(k+2)+class="stub"k+1
2(k+2)

∴1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
k
+class="stub"1
k+1
＞ln(k+2)+class="stub"k+1
2(k+2)

这就是说，当n=k+1时，不等式也成立．
根据（1）和（2），可知不等式对任何n∈N*都成立．

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