已知函数f(x)=a•2x+a-12x+1.(I)求证:不论a为何实数f(x)总为增函数;(II)确定a的值,使f(x)为奇函数;(Ⅲ)当f(x)为奇函数时,求f(x)的值域.-数学

题目简介

已知函数f(x)=a•2x+a-12x+1.(I)求证:不论a为何实数f(x)总为增函数;(II)确定a的值,使f(x)为奇函数;(Ⅲ)当f(x)为奇函数时,求f(x)的值域.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
a•2x+a-1
2x+1

(I)求证:不论a为何实数f(x)总为增函数;
(II)确定a的值,使f(x)为奇函数;
(Ⅲ)当f(x)为奇函数时,求f(x)的值域.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)证明:f(x)=
a•2x+a-1
2x+1
=a-class="stub"1
2x+1

设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(a-class="stub"1
2x1+1
)-(a-class="stub"1
2x2+1
)=
2x1-2x2
(2x1+1)(2x2+1)

因为x10,2x2+1>0
所以f(x1)<-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
故不论a为何实数f(x)总是为增函数;
(II)若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),即a-class="stub"1
2-x+1
=-(a-class="stub"1
2x+1
),
所以2a=class="stub"1
2-x+1
+class="stub"1
2x+1
=1,即a=class="stub"1
2

故当a=class="stub"1
2
时,f(x)为奇函数.
(Ⅲ)由(II)知,若f(x)为奇函数,a=class="stub"1
2
,f(x)=class="stub"1
2
-class="stub"1
2x+1

因为2x>0,所以0<class="stub"1
2x+1
<1,-1<-class="stub"1
2x+1
<0,所以-class="stub"1
2
<f(x)<class="stub"1
2

故f(x)的值域为(-class="stub"1
2
class="stub"1
2
).

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