首页 > 在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N．若OM=xOA，ON=yOB．（1）求证：x与y的关系为y=xx+1；（2）设f(x)=xx+1，定义函数F(x)=1f(x

在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N．若OM=xOA，ON=yOB．（1）求证：x与y的关系为y=xx+1；（2）设f(x)=xx+1，定义函数F(x)=1f(x

题目简介

在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N．若OM=xOA，ON=yOB．（1）求证：x与y的关系为y=xx+1；（2）设f(x)=xx+1，定义函数F(x)=1f(x

题目详情

在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N．若
OM
=x
OA
，
ON
=y
OB
．
（1）求证：x与y的关系为y=
x
x+1
；
（2）设f(x)=
x
x+1
，定义函数F(x)=
1
f(x)
-1(0＜x≤1)，点列Pi（xi，F（xi））（i=1，2，…，n，n≥2）在函数F（x）的图象上，且数列{xn}是以首项为1，公比为
1
2
的等比数列，O为原点，令
OP
=
OP1
+
OP2
+…+
OPn
，是否存在点Q（1，m），使得
OP
⊥
OQ
？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设函数G（x）为R上偶函数，当x∈[0，1]时G（x）=f（x），又函数G（x）图象关于直线x=1对称，当方程G(x)=ax+
1
2
在x∈[2k，2k+2]（k∈N）上有两个不同的实数解时，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：长宁区二模

答案

（1）∵
OM
OA
=
OM
CB
=
ON
NB
，
∴x=class="stub"y
1-y
，从而y=class="stub"x
1+x
．
（2）F(x)=class="stub"x+1
x
-1=class="stub"1
x
，
∴Pi(xi，class="stub"1
xi
)，又xn=(class="stub"1
2
)n-1，class="stub"1
xn
=2n-1，
∴
OP
=(1+class="stub"1
2
++class="stub"1
2n-1
，1+2++2n-1)=(2-class="stub"1
2n-1
，2n-1)．
设
OP
⊥
OQ
，则
OP
•
OQ
=0．
∴2-class="stub"1
2n-1
+m(2n-1)=0，
∵n≥2，∴m=-class="stub"1
2n-1
，
故存在Q(1，-class="stub"1
2n-1
)满足条件．
（3）当x∈[0，1]时，G(x)=class="stub"x
x+1
，
又由条件得G（2-x）=G（x），
∴G（2+x）=G（-x）=G（x）．
当x∈[1，2]时，0≤2-x≤1，∴G(2-x)=class="stub"2-x
2-x+1
=class="stub"2-x
3-x
，
∵G（2-x）=G（x），
∴G(x)=class="stub"2-x
3-x
，从而G(x)=
class="stub"x
x+1
(0≤x≤1)
class="stub"2-x
3-x
(1≤x≤2)
．
由G（x+2）=G（x）得G(x)=
class="stub"x-2k
x-2k+1
x∈[2k，2k+1]
class="stub"x-2k-2
x-2k-3
x∈[2k+1，2k+2]
．
设y1=G(x)，y2=ax+class="stub"1
2
，在同一直角坐标系中作出两函数的图象，
当函数y2=ax+class="stub"1
2
图象经过点（2k+2，0）时，a=-class="stub"1
4(k+1)
．
由图象可知，当a∈[-class="stub"1
4(k+1)
，0)时，y1与y2的图象在x∈[2k，2k+2]（k∈N）有两个不同交点，
因此方程G(x)=ax+class="stub"1
2
在x∈[2k，2k+2]上有两个不同的解．

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