在平行四边形OABC中,已知过点C的直线与线段OA,OB分别相交于点M,N.若OM=xOA,ON=yOB.(1)求证:x与y的关系为y=xx+1;(2)设f(x)=xx+1,定义函数F(x)=1f(x

题目简介

在平行四边形OABC中,已知过点C的直线与线段OA,OB分别相交于点M,N.若OM=xOA,ON=yOB.(1)求证:x与y的关系为y=xx+1;(2)设f(x)=xx+1,定义函数F(x)=1f(x

题目详情

在平行四边形OABC中,已知过点C的直线与线段OA,OB分别相交于点M,N.若
OM
=x
OA
ON
=y
OB

(1)求证:x与y的关系为y=
x
x+1

(2)设f(x)=
x
x+1
,定义函数F(x)=
1
f(x)
-1(0<x≤1)
,点列Pi(xi,F(xi))(i=1,2,…,n,n≥2)在函数F(x)的图象上,且数列{xn}是以首项为1,公比为
1
2
的等比数列,O为原点,令
OP
=
OP1
+
OP2
+…+
OPn
,是否存在点Q(1,m),使得
OP
OQ
?若存在,请求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.
(3)设函数G(x)为R上偶函数,当x∈[0,1]时G(x)=f(x),又函数G(x)图象关于直线x=1对称,当方程G(x)=ax+
1
2
在x∈[2k,2k+2](k∈N)上有两个不同的实数解时,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:长宁区二模

答案

(1)∵
OM
OA
=
OM
CB
=
ON
NB

x=class="stub"y
1-y
,从而y=class="stub"x
1+x

(2)F(x)=class="stub"x+1
x
-1=class="stub"1
x

Pi(xi,class="stub"1
xi
)
,又xn=(class="stub"1
2
)n-1,class="stub"1
xn
=2n-1

OP
=(1+class="stub"1
2
++class="stub"1
2n-1
,1+2++2n-1)=(2-class="stub"1
2n-1
2n-1)

OP
OQ
,则
OP
OQ
=0

2-class="stub"1
2n-1
+m(2n-1)=0

n≥2,∴m=-class="stub"1
2n-1

故存在Q(1,-class="stub"1
2n-1
)
满足条件.
(3)当x∈[0,1]时,G(x)=class="stub"x
x+1

又由条件得G(2-x)=G(x),
∴G(2+x)=G(-x)=G(x).
当x∈[1,2]时,0≤2-x≤1,∴G(2-x)=class="stub"2-x
2-x+1
=class="stub"2-x
3-x

∵G(2-x)=G(x),
G(x)=class="stub"2-x
3-x
,从而G(x)=
class="stub"x
x+1
(0≤x≤1)
class="stub"2-x
3-x
(1≤x≤2)

由G(x+2)=G(x)得G(x)=
class="stub"x-2k
x-2k+1
x∈[2k,2k+1]
class="stub"x-2k-2
x-2k-3
x∈[2k+1,2k+2]

y1=G(x),y2=ax+class="stub"1
2
,在同一直角坐标系中作出两函数的图象,
当函数y2=ax+class="stub"1
2
图象经过点(2k+2,0)时,a=-class="stub"1
4(k+1)

由图象可知,当a∈[-class="stub"1
4(k+1)
,0)
时,y1与y2的图象在x∈[2k,2k+2](k∈N)有两个不同交点,
因此方程G(x)=ax+class="stub"1
2
在x∈[2k,2k+2]上有两个不同的解.

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