定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),x∈(0,1)时,f(x)=2x4x+1.(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;(2)求f(x)在[2k-1,2k+1](k∈Z)上的解析

题目简介

定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),x∈(0,1)时,f(x)=2x4x+1.(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;(2)求f(x)在[2k-1,2k+1](k∈Z)上的解析

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定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),x∈(0,1)时,f(x)=
2x
4x+1

(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;
(2)求f(x)在[2k-1,2k+1](k∈Z)上的解析式;
(3)若关于x的方程|f(x)|=a无实数解,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),
f(-x)=
2-x
4-x+1
=
2x
4x+1

由f(x)为R上的奇函数,得f(-x)=-f(x),
∴当x∈(-1,0)时,f(x)=-f(-x)=-
2x
4x+1
,(4分)
又f(0)=-f(0),f(0)=0,
∵f(-1)=-f(1),f(-1)=f(1-2)=f(1),
∴f(-1)=0,f(1)=0,(7分)
f(x)=
-
2x
4x+1
,x∈(-1,0)
0,x=0,±1
2x
4x+1
,x∈(0,1)
(8分)
(2)因为f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x+1-1)=f(x)
所以,2是函数f(x)的一个周期(2分)
∵f(x)是以2为周期的函数,即f(x-2k)=f(x),k∈Z,
设x∈[2k-1,2k+1],则x-2k∈[-1,1],
∴f(x-2k)=
-
2x
4x+1
,x-2k∈(-1,0)
0,x-2k=0,±1
2x
4x+1
,x-2k∈(0,1)
,(k∈Z)(6分)
f(x)在[2k-1,2k+1](k∈Z)上的解析式:
f(x)=
-
2x
4x+1
,x∈(2k-1,2k)
0,x=2k,2k±1
2x
4x+1
,x∈(2k,2k+1)
,(k∈Z).
(3)∵x∈(0,1)
m=
2x
4x+1
=class="stub"1
2x+class="stub"1
2x
,(11分)
2x∈(1,2),
2x+class="stub"1
2x
∈(2,class="stub"5
2
)

当x=0,1时,m=0,
即当x∈[0,1]时,m∈(class="stub"2
5
,class="stub"1
2
)
∪{0}.    (14分)
∴当x∈[-1,1]时,|f(x)|∈(class="stub"2
5
,class="stub"1
2
)∪{0}

若关于x的方程|f(x)|=a无实数解,
则实数a的取值范围为:(-∞,0)∪(0,class="stub"2
5
)∪(class="stub"1
2
,+∞).

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