首页 > 定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），x∈（0，1）时，f(x)=2x4x+1．（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；（2）求f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析

定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），x∈（0，1）时，f(x)=2x4x+1．（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；（2）求f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析

题目简介

定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），x∈（0，1）时，f(x)=2x4x+1．（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；（2）求f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析

题目详情

定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），x∈（0，1）时，f(x)=
2x
4x+1
．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式；
（3）若关于x的方程|f（x）|=a无实数解，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
有f(-x)=
2-x
4-x+1
=
2x
4x+1
，
由f（x）为R上的奇函数，得f（-x）=-f（x），
∴当x∈（-1，0）时，f(x)=-f(-x)=-
2x
4x+1
，（4分）
又f（0）=-f（0），f（0）=0，
∵f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1-2）=f（1），
∴f（-1）=0，f（1）=0，（7分）
∴f(x)=
-
2x
4x+1
，x∈(-1，0)
0，x=0，±1
2x
4x+1
，x∈(0，1)
（8分）
（2）因为f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x+1-1）=f（x）
所以，2是函数f（x）的一个周期（2分）
∵f（x）是以2为周期的函数，即f（x-2k）=f（x），k∈Z，
设x∈[2k-1，2k+1]，则x-2k∈[-1，1]，
∴f（x-2k）=
-
2x
4x+1
，x-2k∈(-1，0)
0，x-2k=0，±1
2x
4x+1
，x-2k∈(0，1)
，（k∈Z）（6分）
f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式：
f（x）=
-
2x
4x+1
，x∈(2k-1，2k)
0，x=2k，2k±1
2x
4x+1
，x∈(2k，2k+1)
，（k∈Z）．
（3）∵x∈（0，1）
设m=
2x
4x+1
=class="stub"1
2x+class="stub"1
2x
，（11分）
2x∈（1，2），
∴2x+class="stub"1
2x
∈(2，class="stub"5
2
)，
当x=0，1时，m=0，
即当x∈[0，1]时，m∈(class="stub"2
5
，class="stub"1
2
)∪{0}．    （14分）
∴当x∈[-1，1]时，|f（x）|∈(class="stub"2
5
，class="stub"1
2
)∪{0}，
若关于x的方程|f（x）|=a无实数解，
则实数a的取值范围为：（-∞，0）∪（0，class="stub"2
5
）∪（class="stub"1
2
，+∞）．

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