设函数f(x)定义域为R,对一切x、y∈R,均满足:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy,且f(0)=3,f(π2)=4,(1)求f(π)的值;(2)求证:f(x)为周期函数,并求出其一个周

题目简介

设函数f(x)定义域为R,对一切x、y∈R,均满足:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy,且f(0)=3,f(π2)=4,(1)求f(π)的值;(2)求证:f(x)为周期函数,并求出其一个周

题目详情

设函数f(x)定义域为R,对一切x、y∈R,均满足:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy,且f(0)=3,f(
π
2
)=4

(1)求f(π)的值;
(2)求证:f(x)为周期函数,并求出其一个周期;
(3)求函数f(x)解析式.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)令x=y=class="stub"π
2
,则由原式得:f(π)+f(0)=2f(class="stub"π
2
)cosclass="stub"π
2
=0
∴f(π)=-f(0)=-3
证明:(2)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy式中用class="stub"π
2
替换y,得f(x+class="stub"π
2
(4))+f(x-class="stub"π
2
(5))=2f(x)cosclass="stub"π
2
(6)=0①
∴f(x-class="stub"π
2
)=-f(x+class="stub"π
2
)=-f[(x-class="stub"π
2
)+π]
由x-class="stub"π
2
的任意性知,对任意x∈R,均有:f(x)=-f(x+π)②
∴f(x+2π)=f[(x+π)+π]=-f(x+π)=-[-f(x)]=f(x)
∴f(x)为周期函数,且2π为其一个周期.
(3)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy式中用class="stub"π
2
替换x,用x替换y,得:f(class="stub"π
2
+x)+f(class="stub"π
2
-x)=2f(class="stub"π
2
)cosx=8cosx
由②知:f(class="stub"π
2
-x)=-f[(class="stub"π
2
-x)-π]=-f[-(class="stub"π
2
+x)]
∴f(class="stub"π
2
+x)-f[-(class="stub"π
2
+x)]=8cosx
用x替换class="stub"π
2
+x,得:f(x)-f(-x)=8cos(x-class="stub"π
2
)=8sinx③
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy式中取x=0,用x替换y,得:f(x)+f(-x)=2f(0)cosx=6cosx④
从而可得,f(x)=4sinx+3cosx

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