首页 > 设函数f（x）定义域为R，对一切x、y∈R，均满足：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f（0）=3，f(π2)=4，（1）求f（π）的值；（2）求证：f（x）为周期函数，并求出其一个周

设函数f（x）定义域为R，对一切x、y∈R，均满足：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f（0）=3，f(π2)=4，（1）求f（π）的值；（2）求证：f（x）为周期函数，并求出其一个周

题目简介

设函数f（x）定义域为R，对一切x、y∈R，均满足：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f（0）=3，f(π2)=4，（1）求f（π）的值；（2）求证：f（x）为周期函数，并求出其一个周

题目详情

设函数f（x）定义域为R，对一切x、y∈R，均满足：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f（0）=3，f(
π
2
)=4，
（1）求f（π）的值；
（2）求证：f（x）为周期函数，并求出其一个周期；
（3）求函数f（x）解析式．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）令x=y=class="stub"π
2
，则由原式得：f（π）+f（0）=2f（class="stub"π
2
）cosclass="stub"π
2
=0
∴f（π）=-f（0）=-3
证明：（2）f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy式中用class="stub"π
2
替换y，得f（x+class="stub"π
2
（4））+f（x-class="stub"π
2
（5））=2f（x）cosclass="stub"π
2
（6）=0①
∴f（x-class="stub"π
2
）=-f（x+class="stub"π
2
）=-f[（x-class="stub"π
2
）+π]
由x-class="stub"π
2
的任意性知，对任意x∈R，均有：f（x）=-f（x+π）②
∴f（x+2π）=f[（x+π）+π]=-f（x+π）=-[-f（x）]=f（x）
∴f（x）为周期函数，且2π为其一个周期．
（3）f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy式中用class="stub"π
2
替换x，用x替换y，得：f（class="stub"π
2
+x）+f（class="stub"π
2
-x）=2f（class="stub"π
2
）cosx=8cosx
由②知：f（class="stub"π
2
-x）=-f[（class="stub"π
2
-x）-π]=-f[-（class="stub"π
2
+x）]
∴f（class="stub"π
2
+x）-f[-（class="stub"π
2
+x）]=8cosx
用x替换class="stub"π
2
+x，得：f（x）-f（-x）=8cos（x-class="stub"π
2
）=8sinx③
f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy式中取x=0，用x替换y，得：f（x）+f（-x）=2f（0）cosx=6cosx④
从而可得，f（x）=4sinx+3cosx

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