首页 > 设函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx，其中a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（a，f（a））处的切线与直线x-y=0平行，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．-数学

设函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx，其中a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（a，f（a））处的切线与直线x-y=0平行，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．-数学

题目简介

设函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx，其中a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（a，f（a））处的切线与直线x-y=0平行，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．-数学

题目详情

设函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（a，f（a））处的切线与直线x-y=0平行，求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）函数f（x）的定义域是{x|x＞0}．…（1分）
对f（x）求导数，得f′(x)=2x-(a+2)+class="stub"a
x
=
2x2-(a+2)x+a
x
．…（3分）
由题意，得a＞0，且f′（a）=1，
解得a=2．…（5分）
（Ⅱ）由f′（x）=0，得方程2x2-（a+2）x+a=0，
一元二次方程2x2-（a+2）x+a=0存在两解x1=1，x2=class="stub"a
2
，…（6分）
当x2≤0时，即当a≤0时，随着x的变化，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：
x（0，1）1（1，+∞）
f′（x）-0+
f（x）↘极小值↗
即函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
所以函数f（x）在x=1存在极小值f（1）=-a-1；          …（8分）
当0＜x2＜1时，即当0＜a＜2时，随着x的变化，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：
x(0，class="stub"a
2
)		class="stub"a
2
(class="stub"a
2
，1)		1（1，+∞）
f′（x）+0-0+
f（x）↗极大值↘极小值↗
即函数f（x）在(0，class="stub"a
2
)，（1，+∞）上单调递增，在(class="stub"a
2
，1)上单调递减．
所以函数f（x）在x=1存在极小值f（1）=-a-1，在x=class="stub"a
2
存在极大值f(class="stub"a
2
)=alnclass="stub"a
2
-a-
a2
4
；…（10分）
当x2=1时，即当a=2时，
因为f′(x)=
2(x-1)2
x
≥0（当且仅当x=1时等号成立），
所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，故不存在极值；           …（12分）
当x2＞1时，即当a＞2时，随着x的变化，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：
x（0，1）1(1，class="stub"a
2
)		class="stub"a
2
(class="stub"a
2
，+∞)
f′（x）+0-0+
f（x）↗极大值↘极小值↗
即函数f（x）在（0，1），(class="stub"a
2
，+∞)上单调递增，在(1，class="stub"a
2
)上单调递减．
所以函数f（x）在x=1存在极大值f（1）=-a-1，在x=class="stub"a
2
存在极小值f(class="stub"a
2
)=alnclass="stub"a
2
-a-
a2
4
；
综上，当a≤0时，函数f（x）存在极小值f（1）=-a-1，不存在极大值；
当0＜a＜2时，函数f（x）存在极小值f（1）=-a-1，存在极大值 f(class="stub"a
2
)=alnclass="stub"a
2
-a-
a2
4
；
当a=2时，函数f（x）不存在极值；
当a＞2时，函数f（x）存在极大值f（1）=-a-1，存在极小值f(class="stub"a
2
)=alnclass="stub"a
2
-a-
a2
4
．…（14分）

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