首页 > 已知数列{Pn}满足：（1）P1=23，P2=79；（2）Pn+2=23Pn+1+13Pn．（Ⅰ）设bn=Pn+1-Pn，证明数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求limn→∞Pn．-数学

已知数列{Pn}满足：（1）P1=23，P2=79；（2）Pn+2=23Pn+1+13Pn．（Ⅰ）设bn=Pn+1-Pn，证明数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求limn→∞Pn．-数学

题目简介

已知数列{Pn}满足：（1）P1=23，P2=79；（2）Pn+2=23Pn+1+13Pn．（Ⅰ）设bn=Pn+1-Pn，证明数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求limn→∞Pn．-数学

题目详情

已知数列{Pn}满足：（1）P1=
2
3
，P2=
7
9
；（2）Pn+2=
2
3
Pn+1+
1
3
Pn．
（Ⅰ）设bn=Pn+1-Pn，证明数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求
lim
n→∞
Pn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）bn+1=Pn+2-Pn+1=-class="stub"1
3
Pn+1+class="stub"1
3
Pn=-class="stub"1
3
bn，
又b1=class="stub"1
9
，
∴数列{bn}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=class="stub"1
9
(-class="stub"1
3
)n-1=(-class="stub"1
3
)n+1，
即Pn+1-Pn=bn=(-class="stub"1
3
)n+1，
∴Pn=P1+（P2-P1）+（P3-P2）+…+（Pn-Pn-1）=class="stub"2
3
+(-class="stub"1
3
)2+(-class="stub"1
3
)3++(-class="stub"1
3
)n=class="stub"3
4
+class="stub"1
4
•(-class="stub"1
3
)n．
∴
lim
n→∞
Pn=
lim
n→∞
[class="stub"3
4
+class="stub"1
4
•(-class="stub"1
3
)n]=class="stub"3
4
．

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