已知函数f(x)=ax3+b,其图象在点P处的切线为l:y=4x-4,点P的横坐标为2(如图).求直线l、直线x=0、直线y=0以及f(x)的图象在第一象限所围成区域的面积.-数学

题目简介

已知函数f(x)=ax3+b,其图象在点P处的切线为l:y=4x-4,点P的横坐标为2(如图).求直线l、直线x=0、直线y=0以及f(x)的图象在第一象限所围成区域的面积.-数学

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已知函数f(x)=ax3+b,其图象在点P处的切线为l:y=4x-4,点P的横坐标为2(如图).求直线l、直线x=0、直线y=0以及f(x)的图象在第一象限所围成区域的面积.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

f′(x)=3ax2.∴f′(2)=12a,
切线的斜率 k=12a,∵切线方程为:y=4x-4,∴切点坐标为了(2,4)
∴12a=4,∴a=class="stub"1
3
,且f(2)=ax3+b=4,∴b=class="stub"4
3

a=class="stub"1
3
 , b=class="stub"4
3
,f(x)=class="stub"1
3
x3+class="stub"4
3

直线l:y=4x-4与x轴的交点的横坐标为1,
所以直线l、直线x=0、直线y=0以及f(x)的图象在第一象限所围成区域的面积为:
S=
10
(class="stub"1
3
x3+class="stub"4
3
)dx+
21
[(class="stub"1
3
x3+class="stub"4
3
)-(4x-4)]dx

=(class="stub"1
12
x4+class="stub"4
3
x)
|10
+(class="stub"1
12
x4+class="stub"16
3
x-2x2)
|21

=class="stub"1
12
+class="stub"4
3
+class="stub"1
12
×24
+class="stub"16
3
×2
-2×22-(class="stub"1
12
+class="stub"16
3
-2)=2.

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