首页 > 已知函数f（x）的导数．f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b，a，b为实数，1＜a＜2．（1）若f（x）在区间_[-1，1]_上的最小值、最大值分别为-2、1，求a，b的值；（2）在（1）的条件下

已知函数f（x）的导数．f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b，a，b为实数，1＜a＜2．（1）若f（x）在区间_[-1，1]_上的最小值、最大值分别为-2、1，求a，b的值；（2）在（1）的条件下

题目简介

已知函数f（x）的导数．f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b，a，b为实数，1＜a＜2．（1）若f（x）在区间_[-1，1]_上的最小值、最大值分别为-2、1，求a，b的值；（2）在（1）的条件下

题目详情

已知函数 f（x）的导数．f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b，a，b为实数，1＜a＜2．
（1） 若f（x）在区间_[-1，1]_上的最小值、最大值分别为-2、1，求a，b的值；
（2） 在（1）的条件下，求曲线在点P（2，1）处的切线方程．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由已知f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b，
得f（x）=x3-class="stub"3
2
ax2+b，
由f′（x）=0即3x2-3ax=3x（x-a），解得x=0或x=a，
∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴当x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调增；当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）单调减，
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=b，∴b=1，
又f（1）=1-class="stub"3
2
a+1，f（-1）=-1-class="stub"3
2
a+1=-class="stub"3
2
a，∴f（-1）＜f（1）
由题意得最小值为f（-1）=-2，即-class="stub"3
2
a=-2，解得a=class="stub"4
3
．
故a=class="stub"4
3
，b=1为所求；
（2）由（1）得f（x）=x3-2x2+1，f′（x）=3x2-4x，
点P（2，1）在曲线f（x）上，
当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f′（x）|x=2=4，
∴切线l的方程为y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．

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