已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R．（1）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值．①求t的取值范围；②若a+c=2b2，求t的值．（2）若存在实数

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已知函数f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．
（1）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值．
①求t的取值范围；
②若a+c=2b²，求t的值．
（2）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立．求正整数m的最大值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）①f'（x）=（3x2-12x+3）ex+（x3-6x2+3x+t）ex=（x3-3x2-9x+t+3）ex
∵f（x）有3个极值点，
∴x3-3x2-9x+t+3=0有3个根a，b，c．
令g（x）=x3-3x2-9x+t+3，g'（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），
g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，（-1，3）上递减．
∵g（x）有3个零点∴

g(-1)＞0

g(3)＜0

∴-8＜t＜24．
②∵a，b，c是f（x）的三个极值点，
∴x3-3x2-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ac）x-abc
∴

a+b+c=3

ab+ac+bc=-9

t+3=-abc

∴b=1或-class="stub"3

（舍∵b∈（-1，3））
∴

a=1-2

b=1

c=1+2

∴t=8

（2）不等式f（x）≤x，即（x3-6x2+3x+t）ex≤x，即t≤xe-x-x3+6x2-3x．
转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，
不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立．
即不等式0≤xe-x-x3+6x2-3x在x∈[1，m]上恒成立．
即不等式0≤e-x-x2+6x-3在x∈[1，m]上恒成立．
设φ（x）=e-x-x2+6x-3，则φ'（x）=-e-x-2x+6．
设r（x）=φ'（x）=-e-x-2x+6，则r'（x）=e-x-2，因为1≤x≤m，有r'（x）＜0．
故r（x）在区间[1，m]上是减函数．
又r（1）=4-e-1＞0，r（2）=2-e-2＞0，r（3）=-e-3＜0
故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ'（x0）=0．
当1≤x＜x0时，有φ'（x）＞0，当x＞x0时，有φ'（x）＜0．
从而y=φ（x）在区间[1，x0]上递增，在区间[x0，+∞）上递减．
又φ（1）=e-1+4＞0，φ（2）=e-2+5＞0，φ（3）=e-3+6＞0，φ（4）=e-4+5＞0，φ（5）=e-5+2＞0，φ（6）=e-6-3＜0．
所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；
当x≥6时，恒有φ（x）＜0；
故使命题成立的正整数m的最大值为5．

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已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R．（1）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值．①求t的取值范围；②若a+c=2b2，求t的值．（2）若存在实数

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