首页 > 设x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3-x（x∈R）的一个极值点．（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a＞0，g(x)=(a2+254)ex．若存在ξ1，ξ2

设x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3-x（x∈R）的一个极值点．（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a＞0，g(x)=(a2+254)ex．若存在ξ1，ξ2

题目简介

设x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3-x（x∈R）的一个极值点．（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a＞0，g(x)=(a2+254)ex．若存在ξ1，ξ2

题目详情

设x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3-x（x∈R）的一个极值点．
（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a＞0，g(x)=(a2+
25
4
)ex．若存在ξ1，ξ2∈[0，4]使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜1成立，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：湖北

答案

（Ⅰ）f′（x）=-[x2+（a-2）x+b-a]e3-x，
由f′（3）=0，得-[32+（a-2）3+b-a]e3-3=0，即得b=-3-2a，
则f′（x）=[x2+（a-2）x-3-2a-a]e3-x
=-[x2+（a-2）x-3-3a]e3-x=-（x-3）（x+a+1）e3-x．
令f′（x）=0，得x1=3或x2=-a-1，
由于x=3是极值点，
所以x+a+1≠0，那么a≠-4．
当a＜-4时，x2＞3=x1，则
在区间（-∞，3）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
在区间（3，-a-1）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在区间（-a-1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
当a＞-4时，x2＜3=x1，则
在区间（-∞，-a-1）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
在区间（-a-1，3）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在区间（3，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，
那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[min（f（0），f（4）），f（3）]，
而f（0）=-（2a+3）e3＜0，f（4）=（2a+13）e-1＞0，f（3）=a+6，
那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[-（2a+3）e3，a+6]．
又g(x)=(a2+class="stub"25
4
)ex在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[a2+class="stub"25
4
，（a2+class="stub"25
4
）e4]，
由于（a2+class="stub"25
4
）-（a+6）=a2-a+class="stub"1
4
=（a-class="stub"1
2
）2≥0，
所以只须仅须（a2+class="stub"25
4
）-（a+6）＜1且a＞0，
解得0＜a＜class="stub"3
2
．
故a的取值范围是（0，class="stub"3
2
）．

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