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已知函数f（x）=ax3-bx2+9x+2，若f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-6．（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若对任意的x∈[14，2]都有f（x）≥t2-2t-1成立，求函数g

题目简介

已知函数f（x）=ax3-bx2+9x+2，若f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-6．（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若对任意的x∈[14，2]都有f（x）≥t2-2t-1成立，求函数g

题目详情

已知函数f（x）=ax3-bx2+9x+2，若f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-6．
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若对任意的x∈[
1
4
，2]都有f（x）≥t2-2t-1成立，求函数g（x）≥t2+t-2的最值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

由已知得切点（1，3），f′（x）=3ax2-2bx+9
（1）由题意可
f(1)=a-b+9+2=3
f′(1)=3a-2b+9=-3
，
解得
a=4
b=12

f（x）=4x3-12x2+9x+2，f′（x）=12x2-24x+9，
f′（x）=0得x=class="stub"1
2
或class="stub"3
2
，f′（x）＞0，得x＞class="stub"3
2
x＜class="stub"1
2
，
f′（x）＜0class="stub"1
2
＜x＜class="stub"3
2
，f（x）的单调增区间（class="stub"3
2
，+∞），（-∞，class="stub"1
2
），
f（x）的单调减区间（class="stub"1
2
，class="stub"3
2
）．

（2）由（1）可知，f（x）的极小值f（class="stub"3
2
）=2，
f（class="stub"1
4
）=class="stub"57
16
，f（2）=4，
∴f（x）[class="stub"1
4
，2]上的最小值2，
f（x）≥t2-2t-1x∈[class="stub"1
4
，2]上恒成立，t2-2t-1≤2，t2-2t-3≤0，
解-1≤t≤3，g（x）=t2+t-2，
故t=class="stub"1
2
时g（t）最小值-class="stub"9
4
，t=3时g（t）最大值为10．

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