已知函数f（x）=ex（ax2+a+1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[-2，-1]上，f(x)≥2e2恒成立，求实数a的取值范围．-

题目简介

已知函数f（x）=e^x（ax²+a+1）（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间[-2，-1]上，f(x)≥

恒成立，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-exx2，f（1）=-e．
f′（x）=-（x2+2x）ex，则k=f′（1）=-3e．
∴切线方程为：y+e=-3e（x-1），即y=-3ex+2e．
（Ⅱ）由f(-2)=e-2(4a+a+1)≥class="stub"2

，得：a≥class="stub"1

．
f′（x）=ex（ax2+2ax+a+1）=ex[a（x+1）2+1]．
∵a≥class="stub"1

，∴f′（x）＞0恒成立，故f（x）在[-2，-1]上单调递增，
要使f(x)≥class="stub"2

恒成立，则f(-2)=e-2(4a+a+1)≥class="stub"2

，解得a≥class="stub"1

．