首页 > 设y=f（x）为三次函数，且图象关于原点对称，当x=12时，f（x）的极小值为-1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）证明：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）图象上任意两点的连线的斜率恒大于0．-数学

设y=f（x）为三次函数，且图象关于原点对称，当x=12时，f（x）的极小值为-1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）证明：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）图象上任意两点的连线的斜率恒大于0．-数学

题目简介

设y=f（x）为三次函数，且图象关于原点对称，当x=12时，f（x）的极小值为-1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）证明：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）图象上任意两点的连线的斜率恒大于0．-数学

题目详情

设y=f（x）为三次函数，且图象关于原点对称，当x=
1
2
时，f（x）的极小值为-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）证明：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）图象上任意两点的连线的斜率恒大于0．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）设f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）
∵其图象关于原点对称，即f（-x）=-f（x）
得-ax3+bx2-cx+d=-ax3-bx2-cx-d
∴b=d=0，
则有f（x）=ax3+cx
由f′（x）=3ax2+c，依题意得f′（class="stub"1
2
）=0
∴class="stub"3
4
a+c=0①
f（class="stub"1
2
）=class="stub"1
8
a+class="stub"1
2
c=-1②（5分）
由①②得a=4，c=-3故所求的解析式为：f（x）=4x3-3x．（6分）
（Ⅱ）由f′（x）=12x2-3＞0
解得：x＞class="stub"1
2
或x＜-class="stub"1
2
（8分）
∵（1，+∞）⊂（class="stub"1
2
，+∞）
∴x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递增；（10分）
设（x1，y1），（x2，y2）是x∈（1，+∞）时，
函数f（x）图象上任意两点，
且x2＞x1，则有y2＞y1
∴过这两点的直线的斜率k=
y2-y1
x2-x1
＞0．（12分）

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