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已f（x）=13x3+ax2+89x+bg（x）=13x3+m2x-23m+1，且函数f（x）在x=23处取得极值2081．（I）求f（x）的解析式与单调区间；（Ⅱ）是否存在实数m，对任意的x1∈[-

题目简介

已f（x）=13x3+ax2+89x+bg（x）=13x3+m2x-23m+1，且函数f（x）在x=23处取得极值2081．（I）求f（x）的解析式与单调区间；（Ⅱ）是否存在实数m，对任意的x1∈[-

题目详情

已f（x）=
1
3
x3+ax2+
8
9
x+bg（x）=
1
3
x3+m2x-
2
3
m+1，且函数f（x）在x=
2
3
处取得极值
20
81
．
（I）求f（x）的解析式与单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数m，对任意的x1∈[-1，2]，都存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=3f（x1）成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）f′(x)=x2+2ax+class="stub"8
9
，f′(class="stub"2
3
)=class="stub"4
9
+class="stub"4
3
a+class="stub"8
9
=0得a=-1，
且f(class="stub"2
3
)=class="stub"20
81
，b=0，则 f(x)=class="stub"1
3
x3-x2+class="stub"8
9
x
f′(x)=x2-2x+class="stub"8
9
令f′(x)＞0得x＞class="stub"4
3
或x＜class="stub"2
3
；
f′(x)＜0得class="stub"2
3
＜x＜class="stub"4
3
；
∴f(x)的递增区间为(-∞，class="stub"2
3
)，(class="stub"4
3
，+∞)； 
递减区间为(class="stub"2
3
，class="stub"4
3
)

（ II）由（1）得
   x-1（-1，class="stub"2
3
）		class="stub"2
3
（class="stub"2
3
，class="stub"4
3
）		class="stub"4
3
（class="stub"4
3
，2）		2
f′（x）+0-0+
f（x）-class="stub"20
9
增class="stub"20
81
减class="stub"16
81
增class="stub"4
9
所以当x1∈[1，2]时，-class="stub"20
9
≤f（x1）≤class="stub"4
9
，-class="stub"20
3
≤3f（x1）≤class="stub"4
3
…（10分）
假设对任意的x1∈[-1，2]时都存在x0∈[0，1]时使得g（x0）=3f（x1）成立，
设g（x0）的最大值为T，最小值为t，则要求T≥class="stub"4
3
，t≤-class="stub"20
3

又g'（x）=x2+m2，所以当x0∈[0，1]时时T=g(1)=class="stub"1
3
+m2-class="stub"2
3
m+1≥class="stub"4
3
，m≥class="stub"2
3
，或m≤0
且t=g(0)=-class="stub"2
3
m+1≤-class="stub"20
3
，m≥class="stub"23
2
．
综上，m≥class="stub"23
2
；

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