在平面直角坐标系xOy中,点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点,点P处的切线与两个坐标轴交于A,B两点,则△AOB的面积的最小值为______.-数学

题目简介

在平面直角坐标系xOy中,点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点,点P处的切线与两个坐标轴交于A,B两点,则△AOB的面积的最小值为______.-数学

题目详情

在平面直角坐标系xOy中,点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点,点P处的切线与两个坐标轴交于A,B两点,则△AOB的面积的最小值为______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

根据题意设P的坐标为(t,-t3+1),且0<t<1,
求导得:y′=-3x2,故切线的斜率k=y′|x=t=-3t2,
所以切线方程为:y-(-t3+1)=-3t2(x-t),
令x=0,解得:y=2t3+1;令y=0,解得:x=
2t3+1
3t2

所以△AOB的面积S=class="stub"1
2
(2t3+1)•
2t3+1
3t2
=class="stub"1
6
(2t2+class="stub"1
t
2

设y=2t2+class="stub"1
t
=2t2+class="stub"1
2t
+class="stub"1
2t
≥3
32t2• class="stub"1
2t
•class="stub"1
2t

当且仅当2t2=class="stub"1
2t
,即t3=class="stub"1
4
,即t=
3class="stub"1
4
取等号,
把t=
3class="stub"1
4
代入得:Smin=
3
32
4

故答案为:
3
32
4

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