首页 > 设x=4是函数f（x）=（x2+ax+b）e4-x（x∈R）的一个极值点；（I）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a＞0，g（x）=(a2+334)2x，若存在ξ1，ξ2

设x=4是函数f（x）=（x2+ax+b）e4-x（x∈R）的一个极值点；（I）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a＞0，g（x）=(a2+334)2x，若存在ξ1，ξ2

题目简介

设x=4是函数f（x）=（x2+ax+b）e4-x（x∈R）的一个极值点；（I）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a＞0，g（x）=(a2+334)2x，若存在ξ1，ξ2

题目详情

设x=4是函数f（x）=（x2+ax+b）e4-x（x∈R）的一个极值点；
（I）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a＞0，g（x）=(a2+
33
4
)2x，若存在ξ1，ξ2∈[0，5]使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜4成立，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：临沂二模

答案

（I）∵f'（x）=（2x+a-x2-ax-b）e4-x=-[x2+（a-2）x+b-a]e4-x
由f'（4）=0，得16+（a-2）4+b-a=0
即b=-3a-8，
∴f(x)=(x2+ax-3a-8)e4-x
f′(x)=-[x2+(a-2)x-4a-8]

=-（x-4）（x+a+2）e4-x
令f′(x)=0，得x1=4，x2=-a-2
∵x=4是f(x)的极值点，故x1≠x2，
即a≠-6
当a＜-6时，x1＜x2，
故f(x)在(-∞，4]上为减函数，在[4，-a-2]上为增函数，

在[-a-2，+∞）上为减函数．
当a＞-6时，x1＞x2
故f(x)在(-∞，-a-2]上为减函数，在[-a-2，4]上为增函数

在[4，+∞）上为减函数．
（II）当a＞0时，-a-2＜0，
∴f（x）在[0，4]上为增函数，在[4，5]上为减函数，
∵f(0)=be4=-(3a+8)e4＜0
f(5)=(25+5a-3a-8)e-1=(2a+17)e-1＞0

∴f（0）＜f（5），
f（4）=16+4a-3a-8=a+8，
∴f(x)在[0，5]上的值域是[-(3a+8)e4，a+8]
而g(x)=(a2+class="stub"33
4
)2x在[0，5]上为增函数

∴值域为[a2+class="stub"33
4
，(a2+class="stub"33
4
)25]，
∵(a2+class="stub"33
4
)-(a+8)=(a-class="stub"1
2
)2≥0，
若存在ξ1，ξ2∈[0，5]使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜4成立．
只要(a2+class="stub"33
4
)-(a+8)＜4，
即(a-class="stub"1
2
)2＜4
又a＞0∴0＜a＜class="stub"5
2

故a的取值范围是(0，class="stub"5
2
)．

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