首页 > 已知曲线f（x）=x3-3ax（a∈R），直线y=-x+m，m∈R（Ⅰ）当a=43时，且曲线f（x）与直线有三个交点，求m的取值范围（Ⅱ）若对任意的实数m，直线与曲线都不相切，（ⅰ）试求a的取值范围；

已知曲线f（x）=x3-3ax（a∈R），直线y=-x+m，m∈R（Ⅰ）当a=43时，且曲线f（x）与直线有三个交点，求m的取值范围（Ⅱ）若对任意的实数m，直线与曲线都不相切，（ⅰ）试求a的取值范围；

题目简介

已知曲线f（x）=x3-3ax（a∈R），直线y=-x+m，m∈R（Ⅰ）当a=43时，且曲线f（x）与直线有三个交点，求m的取值范围（Ⅱ）若对任意的实数m，直线与曲线都不相切，（ⅰ）试求a的取值范围；

题目详情

已知曲线f（x）=x3-3ax（a∈R），直线y=-x+m，m∈R
（Ⅰ）当a=
4
3
时，且曲线f（x）与直线有三个交点，求m的取值范围
（Ⅱ）若对任意的实数m，直线与曲线都不相切，
（ⅰ）试求a的取值范围；
（ⅱ）当x∈[-1，1]时，曲线f（x）的图象上是否存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于
1
4
．试证明你的结论．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）当a=class="stub"4
3
时，f（x）=x3-4x
∵曲线f（x）与直线有三个交点
∴x3-4x=-x+m有三个不同的根
∴x3-3x=m有三个不同的根，
令g（x）=x3-3x，g'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）
∴g（x）在（-1，1）上递减，（1，+∞），（-∞，-1）上递增g（-1）极大值=2，g（1）极小值=-2
∴当-2＜m＜2时，曲线f（x）与直线有三个交点
（Ⅱ）（i）f（x）=3x2-3a∈[-3a，+∞]，
∵对任意m∈R，直线x+y+m=0都不与y=（x）相切，
∴-1不属于[-3a，+∞]，-1＜-3a，实数a的取值范围是a＜class="stub"1
3
；
（ii）存在，证明方法1：问题等价于当x∈[-1，1]时，|f（x）|max≥class="stub"1
4
，
设g（x）=|f（x）|，则g（x）在x∈[-1，1]上是偶函数，
故只要证明当x∈[0，1]时，|f（x）|max≥class="stub"1
4
，
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增，且f（0）=0，g（x）=f（x）
g（x）max=f（1）=1-3a＞1＞class="stub"1
4
；
②当0＜a＜class="stub"1
3
时f′（x）=3x2-3a=3（x+
a
）（x-
a
），
列表：
x（-∞，-
a
）		-
a
（-
a
，
a
）
a
（
a
，+∞）
f′（x）+0-0+
f（x）↑极大值2a
a
↓极小值
-2a
a
↑
f（x）在（0，
a
）上递减，在（
a
，1）上递增，
注意到f(0)=f(
3a
)=0，且
a
＜
3a
＜1，
∴x∈（0，
3a
）时，g（x）=-f（x），x∈（
3a
，1）时，g（x）=f（x），
∴g（x）max=max{f（1），-f（
a
）}，
由f(1)=1-3a≥class="stub"1
4
及0＜a＜class="stub"1
3
，解得0＜a≤class="stub"1
4
，此时-f(
a
)≤f(1)成立．
∴g(x)max=f(1)=1-3a≥class="stub"1
4
．
由-f(
a
)=2a
a
≥class="stub"1
4
及0＜a＜class="stub"1
3
，解得class="stub"1
4
≤a＜class="stub"1
3
，此时-f(
a
)≥f(1)成立．
∴g(x)max=-f(
a
)=2a
a
≥class="stub"1
4
．
∴在x∈[-1，1]上至少存在一个x0，使得|f（x0）|≥class="stub"1
4
成立．
（II）存在，证明方法2：反证法
假设在x∈[-1，1]上不存在x0，使得使得|f（x0）|≥class="stub"1
4
成立．
，即任意|f(x0)|＜class="stub"1
4
，x∈[-1，1]，设g（x）=|f（x）|
，则g（x）在x∈[-1，1]，上是偶函数，
∴x∈[0，1]时，|f(x)|max＜class="stub"1
4

①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增，且f（0）=0，g（x）=f（x）
g(x)max=f(1)=1-3a＜class="stub"1
4
，a＞class="stub"1
4
与a≤0矛盾；
②当0＜a＜class="stub"1
3
，f′(x)=3x2-3a=3(x+
a
)(x-
a
)，可知f（x）在(0，
a
)上递减，在(
a
，1)上递增，
注意到f(0)=f(
3a
)=0，且
a
＜
3a
＜1
∴x∈(0，
3a
)时，g（x）=-f（x），x∈(
3a
，1)时，g（x）=f（x），
∴g(x)max=max{f(1)，-f(
a
)}
注意到0＜a＜class="stub"1
3
，由：
-f(
a
)≤f(1)=1-3a
f(1)=1-3a＜class="stub"1
4
，
0＜a≤class="stub"1
4
a＞class="stub"1
4
矛盾；
-f(
a
)≥f(1)=1-3a
-f(
a
)=2a
a
＜class="stub"1
4
，
a≥class="stub"1
4
a＜class="stub"1
4
矛盾；
∴x∈[-1，1]，|f(x)0|＜class="stub"1
4
与a＜class="stub"1
3
矛盾，
∴假设不成立，原命题成立．

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