首页 > 已知函数f（x）=x3+2x2+x-4，g（x）=ax2+x-8（a＞2）．（Ⅰ）求函数f（x）极值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．-数学

已知函数f（x）=x3+2x2+x-4，g（x）=ax2+x-8（a＞2）．（Ⅰ）求函数f（x）极值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．-数学

题目简介

已知函数f（x）=x3+2x2+x-4，g（x）=ax2+x-8（a＞2）．（Ⅰ）求函数f（x）极值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．-数学

题目详情

已知函数f（x）=x3+2x2+x-4，g（x）=ax2+x-8（a＞2）．
（Ⅰ）求函数f（x）极值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：柳州三模

答案

（I）f′（x）=3x2+4x+1
令f′（x）=0解得x1=-1或x2=-class="stub"1
3

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

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∴当x=-1时，f（x）取得极大值为-4
当x=-class="stub"1
3
时，f（x）取得极小值为-class="stub"112
27
；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x）=x3+（2-a）x2+4
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）min≥0，
x∈[0，+∞） 且F′（x）=3x2+（4-2a）x
令{F^'}（x）=0，解得x=0，x=class="stub"2a-4
3

∵a＞2，
∴当0＜x＜class="stub"2a-4
3
时，F'（x）＜0
当x＞class="stub"2a-4
3
时，F'（x）＞0
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min=F(class="stub"2a-4
3
)≥0
即(class="stub"2a-4
3
)3+(2-a)(class="stub"2a-4
3
)2+4≥0
解得a≤5，
∴2＜a≤5
当x=0时，F（x）=4成立
故综上所述：实数a的取值范围是a∈（2，5]．

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