首页 > 已知函数f（x）=13x3+ax2-bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数f（x）的极小值为1，若

已知函数f（x）=13x3+ax2-bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数f（x）的极小值为1，若

题目简介

已知函数f（x）=13x3+ax2-bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数f（x）的极小值为1，若

题目详情

已知函数f（x）=
1
3
x3+ax2-bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数f（x）的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数g（x）=
f′(x)-2ax+b-1
x
-2lnx，试判断函数g（x）在（1，+∞）上的符号，并证明：lnn+
1
2
（1+
1
n
）≤
n


i-1
1
i
（n∈N*）．
题型：解答题难度：中档来源：宜宾一模

答案

（Ⅰ）∵f′（x）=x2+2ax-b，∴f′（1）=1+2a-b，
又因为函数在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行，所以在x=1处的切线的斜率等于1，∴f′（1）=1∴b=2a①
∵f（x）有极值，故方程f′（x）=x2+2ax-b=0有两个不等实根∴△=4a2+4b＞0∴a2+b＞0②
由①．②可得，a2+2a＞0∴a＜-2或a＞0
故实数a的取值范围是a∈（-∞，-2）∪（0，+∞）
（（Ⅱ）存在a=-class="stub"8
3
…（5分）
由（1）可知f′（x）=x2+2ax-b，令f′（x）=0∴x1=-a-
a2+2a
，x2=-a+
a2+2a


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∴f（x）极小=f（x2）=class="stub"1
3
x23+ax22-2ax2+1=1，
∴x2=0或x22+3ax2-6a=0
若x2=0，则-a+
a2+2a
=0，则a=0（舍），
若x22+3ax2-6a=0，又f′（x2）=0，∴x22+2ax2-2a=0，
∴ax2-4a=0
∵a≠0∴x2=4
∴-a+
a2+2a
=4，
∴a=-class="stub"8
3
＜2∴存在实数a=-class="stub"8
3
，使得函数f（x）的极小值为1．
（Ⅲ）由g（x）=
f′(x)-2ax+b-1
x
-2lnx=
x2+2ax-b-2ax+b-1
x
-2lnx=x-class="stub"1
x
-2lnx
故g′（x）=1+class="stub"1
x2
-class="stub"2
x
=
x2-2x+1
x2
=
(x-1)2
x2
＞0，
则g（x）在（1，+∞）上是增函数，故g（x）＞g（1）=0，
所以，g（x）在（1，+∞）上恒为正．
当n是正整数时，class="stub"n+1
n
＞1，设x=class="stub"n+1
n
，则
g（class="stub"n+1
n
）=class="stub"n+1
n
-class="stub"n
n+1
-2lnclass="stub"n+1
n

=1+class="stub"1
n
-1+class="stub"1
n+1
-2[ln（n+1）-lnn]
=class="stub"1
n
+class="stub"1
n+1
-2[ln（n+1）-lnn]＞0，
即class="stub"1
n
+class="stub"1
n+1
＞2[ln（n+1）-lnn]
上式分别取n的值为1、2、3、…、n-1（n＞1）累加得：
（class="stub"1
1
+class="stub"1
2
）+（class="stub"1
2
+class="stub"1
3
）+（class="stub"1
3
+class="stub"1
4
）+…+class="stub"1
n-1
+class="stub"1
n

＞2[ln2-ln1+ln3-ln2+ln4-ln3+…lnn-ln（n-1）]
∴1+2（class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+class="stub"1
4
+…class="stub"1
n-1
）+class="stub"1
n
＞2lnn
2（1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+class="stub"1
4
+…class="stub"1
n-1
+class="stub"1
n
）＞2lnn+1+class="stub"1
n

∴1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+class="stub"1
4
+…class="stub"1
n-1
+class="stub"1
n
）＞lnn+class="stub"1
2
（1+class="stub"1
n
）
即lnn+class="stub"1
2
（1+class="stub"1
n
）＜
n






i-1
class="stub"1
i
，（n＞1）
又当n=1时，lnn+class="stub"1
2
（1+class="stub"1
n
）=
n






i-1
class="stub"1
i
，
故lnn+class="stub"1
2
（1+class="stub"1
n
）≤
n






i-1
class="stub"1
i
，当且仅当n=1时取等号．

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