已知函数f（x）=x3-3x．（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（2）若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．-数学

题目简介

题目详情

已知函数f（x）=x³-3x．
（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；
（2）若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：潮州二模

答案

（1）f'（x）=3x2-3，f'（2）=9，f（2）=23-3×2=2（2分）
∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y-2=9（x-2），即9x-y-16=0（4分）
（2）过点A（1，m）向曲线y=f（x）作切线，设切点为（x0，y0）
则y0=x03-3x0，k=f'（x0）=3x02-3．
则切线方程为y-（x03-3x0）=（3x02-3）（x-x0）（6分）
将A（1，m）代入上式，整理得2x03-3x02+m+3=0．
∵过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线
∴方程2x3-3x2+m+3=0（*）有三个不同实数根、（8分）
记g（x）=2x3-3x2+m+3，g'（x）=6x2-6x=6x（x-1）、
令g'（x）=0，x=0或1、（10分）
则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	递增	极大	递减	极小	递增

当x=0，g（x）有极大值m+3；x=1，g（x）有极小值m+2、（12分）
由题意有，当且仅当

g(0)＞0

g(1)＜0

，即

m+3＞0

m+2＜0

，-3＜m＜-2时，
函数g（x）有三个不同零点、
此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．故m的范围是（-3，-2）（14分）

上一篇 : 函数f（x）=x的图象在x=4处的切线
下一篇 : 过原点作曲线y=ex的切线，则切线

已知函数f（x）=x3-3x．（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（2）若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．-数学

题目简介

题目详情

答案

更多内容推荐