设函数f(x)=-x3+2x2-x(x∈R).(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)求函数在f(x)区间[0,2]上的最大值与最小值.-数学

题目简介

设函数f(x)=-x3+2x2-x(x∈R).(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)求函数在f(x)区间[0,2]上的最大值与最小值.-数学

题目详情

设函数f(x)=-x3+2x2-x(x∈R).
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数在f(x)区间[0,2]上的最大值与最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)因为 f(x)=-x3+2x2-x,
所以 f'(x)=-3x2+4x-1,且f(2)=-2.…(2分)
所以 f'(2)=-5.                …(3分)
所以 曲线f(x)在点(2,-2)处的切线方程是y+2=-5(x-2),
整理得5x+y-8=0.          …(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f'(x)=-3x2+4x-1=-(3x-1)(x-1).
令f'(x)=0,解得x=class="stub"1
3
或x=1.  …(6分)
当x∈[0,2]时,f'(x),f(x)变化情况如下表:
x0(0,class="stub"1
3
class="stub"1
3
class="stub"1
3
,1)
1(1,2)2
f'(x)-0+0-
f(x)0-class="stub"4
27
0-2
因此,函数f(x),x∈[0,2]的最大值为0,最小值为-2.…(8分)

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