已知函数.(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求函数f(x)的单调增区间;(2)若f(x)<g(x)在区间(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.-高二数学

题目简介

已知函数.(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求函数f(x)的单调增区间;(2)若f(x)<g(x)在区间(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.-高二数学

题目详情

已知函数
(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求函数f(x)的单调增区间;
(2)若f(x)<g(x)在区间(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:江苏期末题

答案

解:(1)求导函数,可得f′(x)=2ax+(x∈(0,+∞))
∵函数f(x)在x=1处取得极值,
∴f′(x)=0,∴2a+1=0,
∴f′(x)=﹣x+
令f′(x)>0,x>0可得0<x<1
∴函数f(x)的单调增区间为(0,1);
(2)构造函数F(x)=f(x)﹣g(x),
则F′(x)=f′(x)﹣g′(x)=2ax+﹣x﹣2a=
若a≥1,则x>1时,F′(x)>0,函数在(1,+∞)上单调增,F(x)<0不恒成立;
<a<1,则函数在(1,)上F′(x)<0,在(,+∞)上F′(x)>0,
∴F(x)<0不恒成立;
若a,则x>1时,F′(x)<0,函数在(1,+∞)上单调减,
故只需要F(1)≤0
∴a﹣﹣2a≤0
∴a≥﹣

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