已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若方程f(x)=0有三个不等的实根,求实数a的取值范围.-高二数学

题目简介

已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若方程f(x)=0有三个不等的实根,求实数a的取值范围.-高二数学

题目详情

已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求f(x)的单调区间和极值;
(2)若方程f(x)=0有三个不等的实根,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:重庆市期末题

答案

解:(1)∵f(x)=﹣x3+3x2+9x+a,
∴f′(x)=﹣3x2+6x+9.    
  令f'(x)>0,解得﹣1<x<3.
∴函数f(x)的单调递增区间为(﹣1,3).
令f'(x)<0,解得x<﹣1或x>3.
∴函数f(x)的单调递减区间为(﹣∞,﹣1),(3,+∞),
∴f(x)极小值=f(﹣1)=a﹣5,f(x)极大值=f(3)=a+27;
(2)由(1)知若方程f(x)=0,有三个不等的实根,

解得﹣27<a<5.
所以a 的取值范围是(﹣27,5)

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