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已知函数.(1)若f'(﹣3)=0,求a的值;(2)若a>1,求函数发f(x)的单调区间与极值点;(3)设函数g(x)=f'(x)是偶函数,若过点可作曲线y=f(x)的三条切线,求
题目简介
已知函数.(1)若f'(﹣3)=0,求a的值;(2)若a>1,求函数发f(x)的单调区间与极值点;(3)设函数g(x)=f'(x)是偶函数,若过点可作曲线y=f(x)的三条切线,求
题目详情
已知函数
.
(1)若f'(﹣3)=0,求a的值;
(2)若a>1,求函数发f(x)的单调区间与极值点;
(3)设函数g(x)=f'(x)是偶函数,若过点
可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:偏难
来源:福建省期末题
答案
解:f′(x)=x2+2ax+2a﹣1
(1)∵f'(﹣3)=0,∴9﹣6a+2a﹣1=0, 解得:a=2;
(2)f'(x)=(x+1)(x+2a﹣1),
∵a>1,由f'(x)=(x+1)(x+2a﹣1)>0得x<1﹣2a或x>﹣1,
所以f(x)的单调增区间为(﹣∞,1﹣2a)和(﹣1,+∞);
由f'(x)=(x+1)(x+2a﹣1)<0得1﹣2a<x<﹣1,
所以f(x)的单调减区间为(1﹣2a,﹣1);
且x=1﹣2a是极大值点,x=﹣1是极小值点;
(3)∵g(x)=f'(x)是偶函数,∴a=0
∴
,
设曲线线 过点
的切线相切于点P(x0,
),
则切线的斜率 k=x02﹣1,
∴切线方程为y﹣(
)=(x02﹣1)(x﹣x0),
∴点A(1,m)在切线上,
∴m﹣(
)=(x02﹣1)(1﹣x0),
解得m=
令h(x)=
,
则h′(x)=﹣2x2+2x=2x(1﹣x)=0,
解得x=0,x=1
当x=0时,
h(x)取极小值﹣1,
当x=1时,h(x)取极大值﹣
,
∴实数m的取值范围是﹣1<m<﹣
.
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