已知函数在x=1处取得极值2,(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;(Ⅱ)当m满足什么条件时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增?(Ⅲ)若P(x0,y0)为图象上任意一点,直线l与的图象切于点P,求

题目简介

已知函数在x=1处取得极值2,(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;(Ⅱ)当m满足什么条件时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增?(Ⅲ)若P(x0,y0)为图象上任意一点,直线l与的图象切于点P,求

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已知函数在x=1处取得极值2,
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)当m满足什么条件时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增?
(Ⅲ)若P(x0,y0)为图象上任意一点,直线l与的图象切于点P,求直线l的斜率k的取值范围。
题型:解答题难度:中档来源:专项题

答案

解:(Ⅰ)因为
而函数在x=1处取得极值2,
所以,即,解得
所以即为所求.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
令f′(x)=0,得x1=-1,x2=1,
则f(x)的增减性如下表:

可知,f(x)的单调增区间是[-1,1],
所以,
所以当m∈(-1,0]时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增.
(Ⅲ)由条件知,过f(x)的图象上一点P的切线l的斜率k为:

,则t∈(0,1],
此时,
根据二次函数的图象性质知:
时,;当t=1时,kmax=4;
所以,直线l的斜率k的取值范围是

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