设x1,x2是函数的两个极值点,且|x1﹣x2|=2.(Ⅰ)证明:0<a≤1;(Ⅱ)证明:.-高三数学

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设x1,x2是函数的两个极值点,且|x1﹣x2|=2.(Ⅰ)证明:0<a≤1;(Ⅱ)证明:.-高三数学

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设x1,x2是函数的两个极值点,且|x1﹣x2|=2.
(Ⅰ)证明:0<a≤1;
(Ⅱ)证明:
题型:解答题难度:中档来源:甘肃省月考题

答案

解:(Ⅰ)对f(x)求导可得f'(x)=ax2+bx﹣a2(a>0).
因为x1,x2是f(x)的两个极值点,
所以x1,x2是方程f'(x)=0的两个实根.
于是

即b2=4a2﹣4a3.
由b2≥0得4a2﹣4a3≥0,解得a≤1.a>0,
所以0<a≤1得证.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知b2=4a2﹣4a3,
设g(a)=4a2﹣4a3,
则g'(a)=8a﹣12a2=4a(2﹣3a).
由g'(a)>0;g'(a)<0
故g(a)在时取得最大值

所以

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