已知定义在R上的函数f(x)=ax3-3x2，其中a为大于零的常数，(1)当a=时，令h(x)=f′(x)+6x，求证：当x∈(0，+∞)时，h(x)＞2elnx(e为自然对数的底数)；(2)若函数g

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已知定义在R上的函数f(x)=ax³-3x²，其中a为大于零的常数，
(1)当a=时，令h(x)=f′(x)+6x，求证：当x∈(0，+∞) 时，h(x)＞2elnx(e为自然对数的底数)；
(2)若函数g(x)=f(x)+f′(x)，x∈[0，2]在x=0处取得最大值，求a的取值范围。

题型：解答题难度：偏难来源：模拟题

答案

解：(1)因为，所以，
则，
令，
则，
所以当x∈（0，）时，f′(x)＜0；当x∈（，+∞）时，f′(x)＞0，
所以当x=时，F(x)取得极小值，F()为F(x)在(0，+∞)上的最小值，
因为，
所以，即。
(2)，
，
令g′(x)=0，则有，
设方程(*)的两根为x1，x2，则，
设x1＜0＜x2，
当0＜x2＜2时，g(x2)为极小值，所以g(x)在[0，2]上的最大值只能为g(0)或g(2)；
当x2≥2时，g(x)在[0，2]上单调递减，最大值为g(0)，
所以g(x)在[0，2]上的最大值只能为g(0)或g(2)；
又已知g(x)在x=0处取得最大值，
所以g(0)≥g(2)，即0≥20a-24，解得，
所以。

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已知定义在R上的函数f(x)=ax3-3x2，其中a为大于零的常数，(1)当a=时，令h(x)=f′(x)+6x，求证：当x∈(0，+∞)时，h(x)＞2elnx(e为自然对数的底数)；(2)若函数g

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