已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R。(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;(2)当时,求函数f(x)的单调区间与极值。-高二数学

题目简介

已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R。(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;(2)当时,求函数f(x)的单调区间与极值。-高二数学

题目详情

已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R。
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
(2)当时,求函数f(x)的单调区间与极值。
题型:解答题难度:中档来源:同步题

答案

解:(1)当a=0时,
故f′(1)=3e
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e;
(2)
令f′(x)=0,解得x=-2a或x=a-2
知,-2a≠a-2
以下分两种情况讨论:
(i)若,则-2a<a-2,当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:

所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增函数,
在(-2a,a-2)内是减函数
函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a,
函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2
(ii)若,则-2a>a-2,当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:

所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)内是增函数,在(a-2,-2a)内是减函数
函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)= (4-3a)ea-2
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)= 3ae-2a。

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