设函数f（x）=6x3+3（a+2）x2+2ax。（I）若f（x）的两个极值点为x1，x2，且x1x2=1，求实数a的值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）是（-∞，+∞）上的单调函数？若存在，求出a
设函数f（x）=6x3+3（a+2）x2+2ax。 （I）若f（x）的两个极值点为x1，x2，且x1x2=1，求实数a的值； （Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）是（-∞，+∞）上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。
题目简介
设函数f（x）=6x3+3（a+2）x2+2ax。（I）若f（x）的两个极值点为x1，x2，且x1x2=1，求实数a的值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）是（-∞，+∞）上的单调函数？若存在，求出a
题目详情
设函数f（x）=6x3+3（a+2）x2+2ax。
（I）若f（x）的两个极值点为x1，x2，且x1x2=1，求实数a的值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）是（-∞，+∞）上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。
答案
∵x1，x2是f（x）的两个极值点
∴f′（x1）=f'（x2）=0，即x1，x2是l8x2+6（a+2）x+2a=0的两个根
从而
∴
（Ⅱ）要使得f（x）是（-∞，+∞）上的单调函数，需f′（x）≥0 恒成立，即△≤0，但Δ=36（a+2）2-4×18×2a =36（a2+4）>0
所以不存在实数a，使得f（x）是（-∞，+∞）上的单调函数。