已知函数f(x)=ax3+bx2+x+3,其中a≠0,(1)当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?(2)已知a>0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围。-高三数学

题目简介

已知函数f(x)=ax3+bx2+x+3,其中a≠0,(1)当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?(2)已知a>0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围。-高三数学

题目详情

已知函数f(x)=ax3+bx2+x+3,其中a≠0,
(1)当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值?
(2)已知a>0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围。
题型:解答题难度:偏难来源:山东省高考真题

答案

解:(1)由已知得
,得
f(x)要取得极值,方程必须有解,
所以△,即
此时方程的根为

所以
当a>0时,

所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值;
当a<0时,

所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值;
综上,当a,b满足时,f(x)取得极值。
(2)要使f(x)在区间(0,1]上单调递增,需使在(0,1]上恒成立,
恒成立,
所以

(舍去),
当a>1时,,当时,单调增函数;
单调减函数,
所以当时,g(x)取得最大,最大值为,所以
当0<a≤1时,,此时在区间(0,1]恒成立,
所以在区间(0,1]上单调递增,
当x=1时g(x)最大,最大值为,所以
综上,当a>1时,;当0<a≤1时,

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