已知函数g(x)=ax3+bx2+cx(),g(﹣1)=0,则g(x)的导函数f(x)满足f(0)f(1)0.设x1,x2为方程f(x)=0的两根.(1)求的取值范围;(2)若当|x1﹣x2|最小时,

题目简介

已知函数g(x)=ax3+bx2+cx(),g(﹣1)=0,则g(x)的导函数f(x)满足f(0)f(1)0.设x1,x2为方程f(x)=0的两根.(1)求的取值范围;(2)若当|x1﹣x2|最小时,

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已知函数g(x)=ax3+bx2+cx(),g(﹣1)=0,则g(x)的导函数f(x)满足f(0)f(1)0.设x1,x2为方程f(x)=0的两根.
(1)求的取值范围;
(2)若当|x1﹣x2|最小时,g(x)的极大值比极小值大,求g(x)的解析式.
题型:解答题难度:偏难来源:安徽省月考题

答案

解:(1)由题意可得b﹣a﹣c=0,函数f(x)=3ax2+2bx+c,且f(0)f(1)=c(3a+2b+c)0.
化简可得 3b2﹣ab﹣2a20,
a0,
3﹣20.解得﹣1,
的取值范围是
(2)

故当 ,即a=b时,取最小值,即|x1﹣x2|取最小值.
此时,g(x)=ax3+ax2
f(x)=3ax2+2ax.
当a>0时  f(x)在 上是增函数,在 上是减函数,在(0,+) 上是增函数.
g(x)的极大值为,极小值为g(0)=0.
由题意,a=9,此时g(x)=9x3+9x2.
当a<0时,f(x)在 在 上是减函数,在 上是增函数,在(0,+) 上是减函数.
g(x)的极大值为g(0)=0,极小值为
由题意 ,a=﹣9,此时g(x)=﹣9x3﹣9x2.

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