设函数f(x)=﹣2x3+3(1﹣2a)x2+12ax﹣1(a∈R)在x=x1处取极小值,x=x2处取极大值,且.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极大值与极小值的和.-高三数学

题目简介

设函数f(x)=﹣2x3+3(1﹣2a)x2+12ax﹣1(a∈R)在x=x1处取极小值,x=x2处取极大值,且.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极大值与极小值的和.-高三数学

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设函数f(x)=﹣2x3+3(1﹣2a)x2+12ax﹣1(a∈R)在x=x1处取极小值,x=x2处取极大值,且
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极大值与极小值的和.
题型:解答题难度:中档来源:安徽省模拟题

答案

解:(1)求导函数,可得f'(x)=﹣6x2+6(1﹣2a)x+12a=﹣6(x﹣1)(x+2a)
令f'(x)=0,可得x=1或x=﹣2a
①若a≤﹣时,x1=1,x2=﹣2a,由,可得1=﹣2a,a=﹣
此时f'(x)≤0,函数无极值;
②若a>﹣时,x1=﹣2a,x2=1,由,可得4a2=1,a=
此时,x∈(﹣∞,﹣1),f'(x)<0;
x∈(﹣1,1),f'(x)>0;
x∈(1,+∞),f'(x)<0满足条件,
综上知a=
(2)由(1)知,x1=﹣1,x2=1; f(x1)=f(﹣1)=2﹣12×﹣1=﹣5,
∴函数极小值为﹣5;
f(x2)=f(1)=﹣2+12×﹣1=3,
∴函数极大值为3
∴函数极小值与极大值的和为﹣2

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