已知函数f(x)=x3-(a+1)x2-4(a+5)x,g(x)=5lnx+ax2-x+5,其中a∈R。(Ⅰ)若函数f(x),g(x)有相同的极值点,求a的值;(Ⅱ)若存在两个整数m,n,使得函数f(

题目简介

已知函数f(x)=x3-(a+1)x2-4(a+5)x,g(x)=5lnx+ax2-x+5,其中a∈R。(Ⅰ)若函数f(x),g(x)有相同的极值点,求a的值;(Ⅱ)若存在两个整数m,n,使得函数f(

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已知函数f(x)=x3-(a+1)x2-4(a+5)x,g(x)=5lnx+ax2-x+5,其中a∈R。
(Ⅰ)若函数f(x),g(x)有相同的极值点,求a的值;
(Ⅱ)若存在两个整数m,n,使得函数f(x),g(x)在区间(m,n)上都是减函数.求n的最大值,及n取最大值时a的取值范围。
题型:解答题难度:偏难来源:浙江省会考题

答案

解:(Ⅰ)由已知得 f'(x)=x2-(a+1)x-4(a+5),
g'(x)=+ax-1=

由①得x=-4或x=a+5,
由③知,只能a+5>0,即a>-5,
把x=a+5代人②,
解得a=0或a=-4或a=-6(舍去),
经检验,当a=0或a=-4时,函数f(x),g(x)有相同的极值点,
所以,a的值为0或-4;
(Ⅱ)由
设g'(x)<0,即ax2-x+5<0的解集为M,及 N=(0,a+5),
则由题意得区间(m,n)M∩N,
令h(x)=ax2-x+5,
①当a<0时,因为h(0)=5>0,
故只能h(a+5)=a[(a+5)2-1] <0,
即a>-4或a<-6,又因为a>-5,
故-4<a<0,此时n≤a+5<5,
又m,n∈Z,所以m<n≤4,
当且仅当,即-1≤a≤时,n可以取4,
所以,n的最大整数为4;
②当a=0时,M∩N=,不合题意;
③当a>0时,因为,h(0)=5>0,
h(a+5)=a[(a+5)2-1]>0,
故只能,无解,
综上,n的最大整数为4,此时a的取值范围为

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