已知函数f(x)=﹣x3+bx2﹣3a2x(a≠0)在x=a处取得极值,(1)用x,a表示f(x);(2)设函数g(x)=2x3﹣3af′(x)﹣6a3如果g(x)在区间(0,1)上存在极小值,求实数

题目简介

已知函数f(x)=﹣x3+bx2﹣3a2x(a≠0)在x=a处取得极值,(1)用x,a表示f(x);(2)设函数g(x)=2x3﹣3af′(x)﹣6a3如果g(x)在区间(0,1)上存在极小值,求实数

题目详情

已知函数f(x)=﹣x3+bx2﹣3a2x(a≠0)在x=a处取得极值,
(1)用x,a表示f(x);
(2)设函数g(x)=2x3﹣3af′(x)﹣6a3如果g(x)在区间(0,1)上存在极小值,求实数a的取值范围
题型:解答题难度:中档来源:湖南省月考题

答案

解:(1)由题得 f′(x)=﹣x2+2bx﹣3a2,
因为f′(a)=0b=2af(x)=﹣x3+2ax2﹣3a2x
所以f(x)=﹣x3+2ax2﹣3a2x.
(2)由已知,g(x)=2x3+3ax2﹣12a2x+3a3,
令g'(x)=0x=a或x=﹣2a
①若a>0当x<a或x>﹣2a时,g′(x)>0;
当﹣2a<x<a时,g′(x)<0
所以当x=a∈(0,1)时,g(x)在(0,1)有极小值。
②同理当a<0时,x=﹣2a∈(0,1),即a∈(﹣,0)时,g(x)在(0,1)有极小值。
综上所述:当a∈(0,1)∪(﹣,0)时,g(x)在(0,1)有极小值。

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