已知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,且0<x1<1<x2<2,(Ⅰ)证明a>0;(Ⅱ)求z=a+3b的取值范围。-高三数学

题目简介

已知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,且0<x1<1<x2<2,(Ⅰ)证明a>0;(Ⅱ)求z=a+3b的取值范围。-高三数学

题目详情

已知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,且0<x1<1<x2<2,
(Ⅰ)证明a>0;
(Ⅱ)求z=a+3b的取值范围。
题型:解答题难度:偏难来源:高考真题

答案

解:求函数f(x)的导数
(Ⅰ)由函数f(x)在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,
知x1,x2是的两个根,
所以
时为增函数,由得a>0;
(Ⅱ)在题设下,等价于

化简得
此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线,


所围成的△ABC的内部,其三个顶点分别为:
z在这三点的值依次为
所以z的取值范围为

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